蒙古拖雷子忽必烈受邢州封地。忽必烈以僧子聰（劉侃，后改秉忠）為謀士，禮遇理學家姚樞、竇默，召用儒者張文謙、張德輝等。諸人勸以尊孔子，用儒生，重農(nóng)桑。是年，南宋數(shù)學家秦九韶著《數(shù)學九章》成書。主要貢獻為大衍求一術（一次同余式解法）和正負開方術（高次方程數(shù)值解法）。前者約早于歐洲六百年，稱”中國剩余定理”。九韶字道古，四川人。

秦九韶著《數(shù)學九章》

秦九韶，宋普州（今四川安岳）人。早年隨杭州一隱土學數(shù)學，對律算、天文、營造、音樂造詣頗深。淳祐七年（1247），寫成《數(shù)學九章》（一名《數(shù)書九章》）十八卷，分大衍、天時、田域、測望、賦役，錢谷、營建、軍旅、市易等九類，每一類有九題，每題有答案，有“術”說明解題方法，有“草”說明演算步驟，必要時用圖示意。他發(fā)展北宋數(shù)學家賈憲的“增乘開方法”，能解四次到十次方程，使一元高次方程的解法形成比較完整的體系。又發(fā)展《孫子算經(jīng)》的“求一術”，稱為“大衍求一術”，創(chuàng)立了整數(shù)論中一次同余式的普遍解法。在數(shù)學史上占有重要地位。宋慈《洗冤集錄》刊行

《洗冤集錄》是中國最早的一部比較完整的法醫(yī)專著，也是世界上第一部法學專著，比意大利人佛圖納圖·菲德利（Fortunato Fidelis）所著的歐洲第一部法醫(yī)學著作要早三百五十多年。此書的最早版本是宋理宗淳祐七年（1247）宋慈于湖南憲治的自刻本。該書一出，皇帝立即命令頒行全國，成為南宋王朝及后世辦理刑案官員的必讀本，據(jù)錢大昕稱，該書一直被“官司檢驗奉為金科玉律”（《十駕齋養(yǎng)新錄·洗冤錄條》）。

《洗冤集錄》中不少內(nèi)容符合近代法醫(yī)學原理，有許多具有相當高的科學水平、對法醫(yī)檢驗很有價值的條目。它提出了即使在今日法醫(yī)檢驗中也須遵循的檢驗的一般原則，該書所論述的法醫(yī)檢驗范圍和項目與現(xiàn)代法醫(yī)學所論述的基本一致。明代以后，朝鮮、日本、法國、英國、德國、荷蘭先后翻譯出版《洗冤集錄》，該書在國際上廣為流傳，是中華民族對世界文明發(fā)展的大貢獻。平江石刻天文圖勒石

北宋時，天文學家先后六次大規(guī)模地觀測恒星的位置。南宋隆慶普成（今四川梓潼東北）人黃裳，根據(jù)元豐年間（1078—1085）一次觀測資料，繪成星圖，于紹熙元年（1190）進獻給嘉王趙擴（后為寧宗），同時呈獻的還有地理圖等七種圖，稱為“紹熙八圖”。淳祐七年（1247）永嘉（今浙江溫州）人王致遠在平江府（今江蘇蘇州）把黃裳所繪的天文圖摹刻于石碑上，以圖長久傳存。石碑額題“天文圖”三字，上半為圓形全天圖，直徑約九十一點五厘米，以北極為中心，共刻有恒星一千四百四十顆；下半為跋，概述天文知識，為現(xiàn)存世界上較早的大型石刻實測星圖。平江石刻地理圖勒石

宋孝宗時，普成人黃裳在木板上繪刻地圖，紹熙元年（1190）獻給嘉王趙擴。永嘉人王致遠從蜀中得此圖底稿，淳祐七年，在平江府把它雕刻于石碑上，同期雕刻的還有天文圖、帝王紹遠圖等三圖。地理圖分上下兩部分，上部為政治地理圖，以陽文刻寫諸路和少數(shù)軍鎮(zhèn)的名稱，一般地名則用陰文。地名外加長方框，水名則加圓框。山脈用重疊折皺線表示，平行豎線表示森林。地圖對中原、江南描繪較詳細，而對西北等邊遠地區(qū)的描繪卻很簡略。下部為題跋。黃裳原跋概述周秦以來各國分合復遷大勢及大宋朝創(chuàng)業(yè)的艱辛，勸勉嘉王規(guī)復失地。王致遠短跋說明地理圖和其它圖的來歷、摹刻目的和上刻時間。額題“地理圖”。日本翻刻儒書

宋代印刷業(yè)發(fā)展很快，商人和僧人不斷把中國印刷的書籍輸入日本，如《大藏經(jīng)》、《自居易文集》、《東坡指掌圖》、《五代史記》、《唐書》、《太平御覽》等。這促使日本的印刷業(yè)日漸興盛。特別是宋禪宗寺院刻印佛經(jīng)施舍信徒的風氣傳入日本后，日本禪院競相仿效，一時刻印了《法華經(jīng)》、《無量義經(jīng)》、《觀普賢經(jīng)》等大批佛經(jīng)。這些佛經(jīng)被稱為“折供養(yǎng)”。十三世紀初，宋朝程朱理學傳入日本，日本研究理學的風氣也盛行起來。日本寶治元年 （1247），有人署名“陋巷子”，翻刻宋婺州本《論語集注》十卷，成為日本刻印儒家經(jīng)典的濫觴。

蒙古侵高麗

貴由汗二：年（1247）九月，蒙古以高麗不入歲貢，再次調(diào)兵遣將進攻高麗。自此以后，歷經(jīng)八年，四易主將，攻克十四城。蒙軍每次入侵，都肆行殺掠，僅蒙哥汗四年（1254）入侵的札剌兒罕軍，就擄掠男女二十余萬人，殺戮者不可勝計。蒙軍所至州縣都化為灰燼。高麗軍民堅持抵抗，使蒙古始終未能達到滅亡高麗的目的。到蒙哥六年（1256），高麗王王瞰因戰(zhàn)爭使國家陷入困境，遣使入朝蒙古，雙方關系漸趨緩和。九年（1259），王瞰又遣世子王{典到蒙古當人質(zhì)，并表示愿意收都城遷回王京。蒙古也不再堅持高麗王必須親自入朝的條件，與高麗議和。忽必烈信用張文謙

張文謙，邢州（今河北邢臺）人。曾與劉秉忠同學。貴由汗二年（1247），經(jīng)劉秉忠薦舉，覲見忽必烈，應對稱旨，命掌王府書記，深得信用。同劉秉忠舉薦劉肅、張耕治理邢州，卓有成效。此后，忽必烈更加信用漢族儒士。忽必烈征大理時，欲屠其城，文謙、劉秉忠、姚樞等力諫，大理城百姓得以幸免。忽必烈即位后，張文謙以王府舊臣，仍被信用，官居顯要，對元朝制度施政建樹很多。忽必烈召用竇默、姚樞、王鶚

竇默，廣平（今河北）人。金末南逃宋德安府，開始研習程朱理學。蒙古陷德安，被楊惟中招至北方，在大名同姚樞、許衡等講習理學，成為名士。姚樞，柳城（今河南西華）人，曾隨楊惟中投奔蒙古。蒙軍攻宋，隨軍訪求三教之人。后棄官居輝州（今河南輝縣），研習理學，彈瑟自娛。王鶚，曹州東明（今河南）人。蔡州城破，被蒙軍捕獲，后被張柔搭救。忽必烈在劉秉忠、趙璧等人影響下，深知儒士的用處，遣人分使中原各地，訪求才學之士。王鶚、竇默、姚樞先后被召聘入藩府，受到信用，成為忽必烈的重要謀臣，為忽必烈治理漢地、遠征云南、奪取汗位、建立元朝立下了功勛。愛薛人仕蒙古

愛薛，又譯為海薛、也薛，拂林（今敘利亞）人�；�督教聶思脫里派教徒不魯麻失之子，通曉西域諸國語言、天文和醫(yī)學等。貴由汗元年（1246），敘利亞聶思脫里派長老列邊阿答東來參加貴由的即位大典，盛贊不魯麻失的才能。拖雷妻唆魯禾帖尼信奉該教，奉請貴由遣使邀請。不魯麻失以年老推辭，由其子愛薛代父應召，前來和林。愛薛入侍唆魯禾帖尼母子，娶唆魯禾帖尼同族侍女為妻。夫妻倆當過蒙哥汗公主的傅父和傅母，深得蒙哥一家親信。其間也得到忽必烈的賞識。后來，轉(zhuǎn)作忽必烈的侍從。中統(tǒng)四年（1263），奉命掌管西域星歷、醫(yī)藥二司。至元十年（1273）愛薛在大都創(chuàng)設的“京師醫(yī)藥院”改為廣惠司，仍由他管領，專掌配制御用回回藥物和驗方，為阿拉伯地區(qū)醫(yī)藥知識傳入中國做出了重大貢獻。以后又歷任元朝要職，死后追封拂林王。吐蕃諸部歸附蒙古

蒙古統(tǒng)一吐蕃之前，吐蕃長期處于四分五裂的狀態(tài)中。窩闊臺即位后，把西夏故地封給次子闊端，闊端率軍進駐河西，著手經(jīng)營吐蕃。窩闊臺汗七年（1235），闊端進攻四川之前，先取秦（今甘肅天水）、鞏（今隴西）地區(qū)，鞏昌汪世顯、熙河蕃部首領趙阿哥昌等投附蒙古。趙阿哥昌被任命為疊州（今甘肅迭部）安撫使，負責招集吐蕃諸部。八年，闊端大舉入蜀，命宗王穆直與先鋒按竺邇領一軍從甘南進軍川西北，攻破宕昌、階、文等地后，招降吐蕃奠長勘陁孟迦等十族，任命其首領為邊州長官，賜給銀符。十一年（1239），闊端派部將朵兒答進兵烏斯藏，到達今拉薩東北地區(qū)。后因窩闊臺死，撤軍。朵兒答向闊端報告烏斯藏政教狀況，建議委任最有影響的薩斯迦派首領管理此地。乃馬真后三年（1244），闊端給主持薩斯迦寺的班彌怛·功嘉監(jiān)藏寫信，邀請他前來涼州。功嘉監(jiān)藏應召，攜帶侄子八思巴和恰那朵兒只北上。貴由汗元年（1246）抵達涼州闊端王府營地。次年，闊端從和林歸來，功嘉監(jiān)藏代表吐蕃各部僧俗首領與闊端達成協(xié)議，承認吐蕃歸屬蒙古。功嘉監(jiān)藏發(fā)出《致烏斯藏納里僧俗諸首領書》，宣布“上納里、烏斯、藏皆已降附”蒙古，并轉(zhuǎn)達闊端的命令：各地在職俗官，官仍原職，任命薩斯迦首領為達魯花赤，賜金符銀符；各地官員處理政務須請示薩斯迦金符長老；各地編造籍冊，開列官吏姓名、俗眾人數(shù)和貢賦稅額，上呈闊端和薩斯迦金符長老。在薩斯迦派的帶動下，吐蕃諸部大多歸附蒙古，蒙古通過薩斯迦領袖確立了對吐蕃的統(tǒng)治權。以后，在蒙哥、忽必烈時代，又征服或招降了未臣服的零散部落，鞏固了對西藏的統(tǒng)治。貴由西巡

貴由即位第二年（1247），以去中亞領地療養(yǎng)為名，率領大軍離開和林西巡，同時命野里知吉帶為征西軍統(tǒng)帥，諸王軍隊中抽調(diào)的十分之二的人馬和鎮(zhèn)守波斯的全軍皆受其節(jié)制。波斯史家拉施特記載，貴由西巡是為了對付南俄草原的拔都。拖雷妻唆魯禾帖尼派人密報拔都，提醒拔都備戰(zhàn)。三年（1248）三月，貴由在西巡途中突然病去，傳說是拔都派奸細毒死的。