黎曼

　　黎曼(georg friedrich bernhard riemann,1826～1866)
　　1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師。
　　由于從小酷愛數(shù)學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數(shù)學課。當時的哥廷根大學是世界數(shù)學的中心之一，—些著名的數(shù)學家如高斯、韋伯、斯特爾都在校執(zhí)教。黎曼被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數(shù)學。
　　1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。
　　l851年，黎曼獲得數(shù)學博士學位；l854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。
　　因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚后不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，其后四年的大部分時間在意大利治病療養(yǎng)。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。
　　黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。
[編輯本段]復變函數(shù)論的奠基人
　　19世紀數(shù)學最獨特的創(chuàng)造是復變函數(shù)理論的創(chuàng)立，它是18世紀人們對復數(shù)及復函數(shù)理論研究的延續(xù)。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單值解析函數(shù)的理論進行了系統(tǒng)的研究，而對于多值函數(shù)僅有柯西和皮瑟有些孤立的結論。
　　1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數(shù)的一般理論的基礎》的博士論文，后來又在《數(shù)學雜志》上發(fā)表了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前人關于單值解析函數(shù)的成果，并用新的工具予以處理，同時創(chuàng)立多值解析函數(shù)的理論基礎，并由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。
　　柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點推導出來。
　　在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數(shù)是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數(shù)性質的研究獲得一系列成果。
　　經(jīng)黎曼處理的復函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結論推廣到多值函數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—羅赫定理，首創(chuàng)的雙有理變換構成19世紀后期發(fā)展起來的代數(shù)幾何的主要內容。
　　黎曼為完善其博士論文，在結束時給出其函數(shù)論在保形映射的幾個應用，將高斯在1825年關于平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，并在文字的結尾給出著名的黎曼映射定理。
[編輯本段]黎曼幾何的創(chuàng)始人
　　黎曼對數(shù)學最重要的貢獻還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學和科學各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。
　　1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，該演講在其逝世后的兩年(1868年)以《關于作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為黎曼幾何。
　　為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關于熱傳導的文章，這篇文章后來被稱為他的“巴黎之作”。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡明其幾何思想。該文在他死后收集在1876年他的《文集》中。
　　黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他采用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發(fā)，建立了更一般的抽象幾何空間。
　　黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可以用個可變參數(shù)的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變參數(shù)稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續(xù)變化時，對應的點就遍歷這個流形。
　　黎曼仿照傳統(tǒng)的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。并以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義類似于高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數(shù)等于三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統(tǒng)微分幾何的推廣。
　　黎曼發(fā)展了高斯關于一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。
　　在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在于通過給定一點做關于定直線所作平行線的條數(shù)。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以后發(fā)展了空間的理論，使得一千多年來關于歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被后人一一予以證實。
　　由于黎曼考慮的對象是任意維數(shù)的幾何空間，對復雜的客觀空間有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由于多變量微分的復雜性，黎曼采取了一些異于前人的手段使表述更簡潔，并最終導致張量、外微分及聯(lián)絡等現(xiàn)代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化�，F(xiàn)在，黎曼幾何已成為現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學基礎。
[編輯本段]微積分理論的創(chuàng)造性貢獻
　　黎曼除對幾何和復變函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對l9世紀初興起的完善微積分理論的杰出貢獻載入史冊。
　　18世紀末到l9世紀初，數(shù)學界開始關心數(shù)學最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進而到維爾斯特拉斯，都以全力的投入到分析的嚴密化工作中。黎曼由于在柏林大學從師狄利克萊研究數(shù)學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。
　　1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出的是《關于利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性的》文章。這是一篇內容豐富、思想深刻的杰作，對完善分析理論產(chǎn)生深遠的影響。
　　柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的，黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。關于連續(xù)與可微性的關系上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數(shù)學家都相信，而且在后來50年中許多教科書都“證明”連續(xù)函數(shù)一定是可微的。黎曼給出了一個連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關系。
　　黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。
　　黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數(shù)，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關于三角級數(shù)收斂的黎曼條件，得出關于三角級數(shù)收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數(shù)的項適當重排，使新級數(shù)收斂于任何指定的和或者發(fā)散。
[編輯本段]解析數(shù)論跨世紀的成果
　　19世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利克萊開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創(chuàng)了用復數(shù)解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。
　　1859年，黎曼發(fā)表了《在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)》的論文。這是一篇不到十頁的內容極其深到的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質，并簡要地斷言了其它的性質而未予證明。
　　在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。
　　那個未解決的問題現(xiàn)稱為“黎曼猜想”，即：在帶形區(qū)域中的一切零點都位于去這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題)，這個問題迄今沒有人證明。對于某些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù)論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數(shù)論的內容。
[編輯本段]組合拓撲的開拓者
　　在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關于閉凸多面體的頂點、棱、面數(shù)關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學)的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數(shù)論的工作。
　　黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強調說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函數(shù)的全體組成(空間點的)連通閉區(qū)域的思想是最早的泛函思想。
　　比薩大學的數(shù)學教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會，黎曼由于當時病魔纏身，自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學的其他領域作出杰出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。
[編輯本段]代數(shù)幾何的開源貢獻
　　19世紀后半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。當時他們把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何。
　　黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬于同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數(shù)叫做“類模數(shù)”，常量在雙有理變換下是不變量。“類模數(shù)”的概念是現(xiàn)在“參模”的特殊情況，研究參模上的結構是現(xiàn)代最熱門的領域之一。
　　著名的代數(shù)幾何學家克萊布什后來到哥廷根大學擔任數(shù)學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，并對黎曼的工作給予新的發(fā)展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。
　　黎曼假設　2000年5月24日，美國克雷(clay)數(shù)學研究所公布了7個千禧數(shù)學問題。每個問題的獎金均為100萬美元。其中黎曼假設被公認為目前數(shù)學中(而不僅僅是這7個)最重要的猜想。黎曼假設并非第一次在社會上征尋解答，早在1900年的巴黎國際數(shù)學家大會上，德國數(shù)學家希爾伯特列出23個數(shù)學問題．其中第8問題中便有黎曼假設(還包括孿生素數(shù)猜測和哥德巴赫猜想)。
　　具體概述關于黎曼-希爾伯特問題是：具有給定單值群的線性微分方程的存在性證明。即：關于素數(shù)的方程的所有有意義的解都在一條直線上。
　　有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s)的性態(tài)。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。
　　1730年，歐拉在研究調和級數(shù)：
　　σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。
　　時，發(fā)現(xiàn)：
　　σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=π(1-1/p)^-1。
　　其中，n過所有正整數(shù)，p過所有素數(shù)，但稍加改動便可以使其收斂，將n寫成n^s(s>1),即可。如果黎曼假設正確：
　　π（x)=li(x)+o(x^1/2*logx)
　　證明了上式，即證明了黎曼猜想。
　　在證明素數(shù)定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：zeta函數(shù)的零點都在直線res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因為這對他證明素數(shù)定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至于比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。
[編輯本段]在數(shù)學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果
　　黎曼不但對純數(shù)學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數(shù)學與物理世界的關系，他寫了一些關于熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對沖擊波作數(shù)學處理的第一個人，他試圖將引力與光統(tǒng)一起來，并研究人耳的數(shù)學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。
　　黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數(shù)表示的函數(shù)的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發(fā)表而后收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數(shù)系數(shù)的階線性微分方程。這是關于微分方程奇點理論的重要文獻。
　　19世紀后半期，許多數(shù)學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和kellogg借助當時已經(jīng)發(fā)展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。
　　黎曼在常微分方程理論中自守函數(shù)的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關于超幾何級數(shù)的講義和1867年發(fā)表的關于極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函數(shù)理論，即現(xiàn)在通稱的黎曼——許瓦茲定理。
　　在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創(chuàng)造性的提出解波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對關于微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了杰出的工作，……
　　黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，后來由韋伯以《數(shù)學物理的微分方程》編輯出版，這是一本歷史名著。
　　不過，黎曼的創(chuàng)造性工作當時未能得到數(shù)學界的一致公認，一方面由于他的思想過于深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現(xiàn)才平息了指責；另一方面也由于他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經(jīng)引起了很大的爭議。
　　黎曼的工作直接影響了19世紀后半期的數(shù)學發(fā)展，許多杰出的數(shù)學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。