波浪增減水的實(shí)用數(shù)學(xué)模型及其數(shù)值模擬

波浪增減水的實(shí)用數(shù)學(xué)模型及其數(shù)值模擬 1　引言
　　波浪從深水向淺水傳播過程中，由于淺化變形，會(huì)在海岸附近發(fā)生波浪破碎．波浪破碎過程中將伴隨大量的能量損失，導(dǎo)致波高等波要素發(fā)生很大變化，從而在近岸區(qū)域出現(xiàn)明顯的增成水現(xiàn)象．自20世紀(jì)60年代以來，許多學(xué)者采用物理模型實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)模型對(duì)波浪增減水現(xiàn)象進(jìn)行了研究，取得了許多重要研究成果，但由于該現(xiàn)象的復(fù)雜性，目前對(duì)波浪增減水的模擬大多是先采用考慮能量損失的波能平衡方程得到波高分布，接著采用Longuet-Higgins和stewart原始輻射應(yīng)力公式或其簡(jiǎn)化公式計(jì)算輻射應(yīng)力分量，最后采用深度平均的方程計(jì)算平均水位的變化（增減水）．對(duì)簡(jiǎn)單地形，這種方法是十分有效的，但對(duì)復(fù)雜地形這種方法存在明顯不足，主要表現(xiàn)在：（1）考慮能量損失的波能平衡方程在用于二線問題時(shí)，需要采用其他方程計(jì)算波向，而復(fù)雜地形上的波向的求解十分困難，特別在焦散區(qū)附近更是如此；（2）直接采用Longuet-Higgins和Stewat原始公式計(jì)算輻射應(yīng)力分量比較復(fù)雜，需要采用其他方程得到波浪水質(zhì)點(diǎn)的速度、壓力及波面分布，其簡(jiǎn)化公式只適用于簡(jiǎn)單的純行進(jìn)波，而且仍需采用其他方程計(jì)算出各點(diǎn)的波向，從而使這種比較常用的波浪增減水模型算法在復(fù)雜地形上的應(yīng)用受到限制．為此，本文給出一種比較實(shí)用的波浪增減水?dāng)?shù)學(xué)模型．該模型首先采用考慮能量損失的拋物型緩坡方程得到域內(nèi)的波浪復(fù)振幅分布，避免了波向的確定，接著采用筆者導(dǎo)出的一種新的輻射應(yīng)力公式計(jì)算出輻射應(yīng)力分量，最后采用深度平均的方程計(jì)算波浪破碎產(chǎn)生的增減水．從理論上說，本文方法可有效地用于復(fù)雜地形上的增減水問題，但由于缺少?gòu)?fù)雜地形上的增減水實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，因此模型的驗(yàn)證是在簡(jiǎn)單地形上進(jìn)行的．采用該模型對(duì)規(guī)則波和不規(guī)則波破碎引起的增減水問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，并將數(shù)值結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，效果比較滿意．
2 數(shù)學(xué)模型
2．1 波浪復(fù)振幅數(shù)學(xué)模型。
　　考慮波能損失的拋物型緩坡方程為

式中，A為波浪復(fù)振幅；X為波浪主傳播方向；k為波數(shù)；為縱軸方向（y方向）上k的平均值；C為波相速;Cg為波群速;μ為非線性因子，可由Kirby和Dalrymple提出的非線性頻散模型確定;F＝（Df＋Db）/E，為能量損失因子，E＝pg|A|2/2，為波能，Df和Db分別為底摩擦和波浪破碎引起的能量損失，可采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：

其中p為密度；ƒw為底摩擦系數(shù)，可由經(jīng)驗(yàn)公式確定；w為波浪圓頻率;H為波高;h為靜水深;g為重力加速度；a1為校正系數(shù)(≈)；ƒp為不規(guī)則波譜峰頻率;Qb和Hb分別為不規(guī)則波當(dāng)?shù)仄撇ǚ謹(jǐn)?shù)和最大破波波高，它們分別由下面的表達(dá)式確定：

其中 kp為譜峰頻率對(duì)應(yīng)的當(dāng)?shù)夭〝?shù);r為破波參數(shù)，可由經(jīng)驗(yàn)公式r=0.5＋0.4tanh(33So）或?qū)嶋H增況確定，So為初始人射波陡．
2．2 輻射應(yīng)力計(jì)算公式
　　由推導(dǎo)拋物型緩坡方程（1）所做的簡(jiǎn)化假定，并將輻射應(yīng)力分量與式（1）中的待求變量聯(lián)系起來，可以導(dǎo)出下面的輻射應(yīng)力分量計(jì)算公式：


式中，Sxx，Syy，Sxy和Syx為輻射應(yīng)力分量;A*為A的共扼復(fù)數(shù)；其他變量含義同前．當(dāng)應(yīng)用武（1）計(jì)算出計(jì)算域中各點(diǎn)的復(fù)振幅A后，采用式（2）可十分容易地計(jì)算出各點(diǎn)的輻射應(yīng)力分量．
2．3 波浪增減水?dāng)?shù)學(xué)模型
　　對(duì)波浪增減水采用深度平均的連續(xù)方程和動(dòng)量方程進(jìn)行計(jì)算，具體表達(dá)式如下：

式（1）一（3）構(gòu)成了復(fù)雜地形上的波浪增減水?dāng)?shù)學(xué)模型。但對(duì)本文算例，可采用式（4）代替式（3）進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算．
3 數(shù)值方法
　　式（1）采用Crank－Nicolson格式離散，并結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件采用追趕法進(jìn)行求解，就得到計(jì)算域中復(fù)振幅A（x,y）的分布；將A（x,y）代入式（2），可十分容易地計(jì)算出域中各點(diǎn)的輻射應(yīng)力分量，然后將輻射應(yīng)力分量代人式（4）即可可求出η值．在本文計(jì)算中，式（2）和（4）中的一階導(dǎo)數(shù)均采用中心差分格式離散．
4 數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證及結(jié)果分析
4．1 規(guī)則波破碎引起的波浪增減水
　　采用鄒志利進(jìn)行的規(guī)則波破碎的物理模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果來驗(yàn)證本文給出的波浪增減水?dāng)?shù)學(xué)模型．其實(shí)驗(yàn)地形如圖1所示．有關(guān)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算采用的參數(shù)如表1所示，其中ho為造波位置的靜水深，Ho為人射波高，T為周期，r為破波參數(shù)．圖2給出了四種工況的波浪增減水的實(shí)驗(yàn)值和計(jì)算結(jié)果的比較，可以看出兩者比較一致，初步說明本文給出的沾染增減水?dāng)?shù)學(xué)模型比較成功的。


4．2 不規(guī)則波破碎引起的波浪增減水
　　這里對(duì)一種典型地形上不規(guī)則波破碎引起的波浪增減水進(jìn)行數(shù)值模擬，在該地形上
Sitve進(jìn)行了不規(guī)則波破碎的物理模型實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果被一些學(xué)者用來驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型．有關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)和計(jì)算參數(shù)如表2所示，其中Hrmo為人射位置的不規(guī)則波的均方波高，ƒp為譜峰頻率，其他參數(shù)同表1．圖3給出了波浪增減水的計(jì)算值與實(shí)測(cè)結(jié)果的比較，可以看出兩者相當(dāng)一致，這進(jìn)步說明本文模型是比較有效的。

5 結(jié)束語
　　波浪增減水是近岸區(qū)波浪破碎引起的一種比較常見的現(xiàn)象，針對(duì)現(xiàn)有模型存在的問題，本文提出了一種模擬近岸區(qū)波浪增減水的實(shí)用數(shù)學(xué)模型．采用該模型對(duì)規(guī)則波和不規(guī)則波破碎引起的增減水進(jìn)行了數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較表明，該模型可有效模擬近岸區(qū)的波浪增減水現(xiàn)象．  

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