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法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究
法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究 摘要:圖論理論是網(wǎng)絡(luò)分析的主要工具,現(xiàn)用于管網(wǎng)的水力平衡計(jì)算 ,既充分發(fā)揮了圖論理論的優(yōu)勢(shì),使計(jì)算變得簡(jiǎn)便、迅捷,又可將管網(wǎng)附件加入計(jì)算,使結(jié)果更準(zhǔn)確、更符合實(shí)際。文中采用峰陣輸入管網(wǎng)結(jié)構(gòu),使輸入數(shù)據(jù)的工作量大大減少,易于編制程序,計(jì)算大型的復(fù)雜管網(wǎng)。
關(guān)鍵詞:供水管網(wǎng) 水力計(jì)算 圖論法
前 言
供水管網(wǎng)的水力平衡計(jì)算是供水系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)和運(yùn)行管理的基礎(chǔ)。水力平衡計(jì)算的目的就是在確定管徑的情況下求出滿足連續(xù)方程和能量方程的各節(jié)點(diǎn)壓力水頭和各管段流量。目前常用的水力平衡計(jì)算方法有哈代-克羅斯法(Hardy-Cross),牛頓-萊福遜法(New ton-Raphson),線性理論法(Linear-Theory),有限元法(Finite Element)等等。所有這些方法各有所長(zhǎng),適用范圍各不相同,有的還需人工假設(shè)管段流量,使輸入數(shù)據(jù)工作量增大,且未考慮管網(wǎng)附件的影響。本文介紹的圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”,并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,用峰陣輸入原始數(shù)據(jù)來(lái)描述管網(wǎng)結(jié)構(gòu),輸入的數(shù)據(jù)量最少,不易出錯(cuò),易于計(jì)算大型的復(fù)雜管網(wǎng)。其計(jì)算過(guò)程可同時(shí)考慮管網(wǎng)附件,如控制閥、加壓泵、逆止閥、減壓閥等,使計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際。
1 圖論原理
將供水管網(wǎng)中的管段概化成一條線段(即圖中的邊),將有附件的管段看成圖中的特殊管段,邊與邊由節(jié)點(diǎn)相連。這樣,一個(gè)供水系統(tǒng)的管網(wǎng)圖就轉(zhuǎn)化為圖論中的網(wǎng)絡(luò)圖。而且管道中的水流是有方向的,所以管網(wǎng)圖是有向圖。
根據(jù)以上所述原則,可將圖1所示管網(wǎng)系統(tǒng),轉(zhuǎn)化為圖2所示的網(wǎng)絡(luò)圖。
圖1
圖2
圖1中有一水庫(kù)A,三個(gè)給水點(diǎn)B、C、D,Q1表示水庫(kù)節(jié)點(diǎn)供水量,Q2\,Q3\,Q4分別表示B、C、D節(jié)點(diǎn)的用水量。管段視為網(wǎng)絡(luò)圖中的對(duì)應(yīng)邊,管段的直徑、管長(zhǎng)、管道流量、摩損系數(shù)等作為管段對(duì)應(yīng)邊的權(quán)。至此,與管網(wǎng)同構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)圖生成了。圖中箭頭表示各條邊的方向,即管段中水流方向。
網(wǎng)絡(luò)圖中節(jié)點(diǎn)與邊的關(guān)聯(lián)函數(shù)可以用完全關(guān)聯(lián)矩陣I4×5表示如式(1)所示。
頂點(diǎn) 邊的編號(hào)
(1)
式中:Iij= { 1,表示j管段與i節(jié)點(diǎn)相連,且管內(nèi)水流流離該節(jié)點(diǎn);
0,表示此管段不與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián);
-1,表示j管段與i節(jié)點(diǎn)相連,且管內(nèi)水流流入該節(jié)點(diǎn)。
完全關(guān)聯(lián)矩陣與管段流量列向量q以及節(jié)點(diǎn)流量列向量Q可組成管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)方程(即連續(xù)方程)Iij×q+Q=0,q=(q1,q2,q3,q4,q5)T,Q=(Q1,Q2,Q3,Q4)T。
網(wǎng)絡(luò)圖的生成樹(shù)(全涉及樹(shù))可以有很多種,在計(jì)算時(shí)可以任選一種。在本例中,選1、2、4這3條邊為圖的生成樹(shù),則補(bǔ)樹(shù)(余樹(shù))的各邊(弦)為3、5.各弦將與枝構(gòu)成基本回路,一個(gè)基本回路中有且僅有1條弦。用基本回路矩陣Bf表示則如式(2)所示。
枝1
2
4
弦3
5
Bf=
[
-1
1
0
1
0
]
(2)
1
-1
-1
0
1
式中每一行表示一個(gè)基本回路(環(huán))。環(huán)的方向以該環(huán)對(duì)應(yīng)弦的方向?yàn)闇?zhǔn)�！�-1”表示管段中的流向與環(huán)中弦的方向相反,“1”表示相同,“0”表示該管段不在此環(huán)內(nèi)。Bf可用矩陣B和單位陣U表示為式(3)。
Bf=[B|U],其中B=
[
-1
1
0
]
(3)
1
-1
-1
環(huán)陣與管段摩損列向量hf構(gòu)成環(huán)方程如式(4)所示。摩損向量的元素順序與Bf中每行元素所對(duì)應(yīng)的管段順序相同。
Bf×hf=0。其中hf=(h1,h2,h4,h3,h5)T
(4)
圖論理論中,連續(xù)方程用割方程代替。每個(gè)割方程只含一根枝,并和相關(guān)的弦構(gòu)成割集,將圖2分割成互不連通的脫離體。這樣,圖中就有3個(gè)割集。割集和割集陣Af如式(5)所示:
割集K: 割陣: Af= [ 枝1 2 4 弦3 5 ] (5)
K1=(e1,e3,e5) 1 0 0 1 -1
K2=(e2,e3,e5) 0 1 0 -1 1
K3=(e4,e5) 0 0 1 0 1
割陣Af中,每一行表示一個(gè)割集。圖中有3根枝,所以就有3個(gè)割集。割陣中,“+1”表示該管段在此割集內(nèi),且管段流向與此割集內(nèi)的枝中的流向相同,“-1”表示流向相反,“0”表示該管段不在此割集內(nèi)。式(5)的割陣Af和割集K一一對(duì)應(yīng)。割陣Af可用一個(gè)矩陣A和一個(gè)單位陣U表示為:
Af=[U|A],其中A=
[
1
-1
]
-1
1
0
1
割陣與流量列向量可構(gòu)成割方程。
根據(jù)圖論理論,割陣的行向量與環(huán)陣的行向量正交,這種關(guān)系可用式(6)表示。
[B|U]·[U|A]T=0或者[U|A]·[B|U]T=0
(6)
所以有B=-AT或者A=-BT。這樣,環(huán)陣可以由割陣求出,反之亦然。
關(guān)聯(lián)矩陣通過(guò)選主元初等行變換即可得到割陣:先選關(guān)聯(lián)陣第一行中一非零枝元素為主元,并使其為+1,消去其它各行中此主元;再選第二行、第三行、…的主元,最后即得割陣Af。因此,可以由關(guān)聯(lián)矩陣導(dǎo)出割陣和環(huán)陣。
2 圖論法模型
任何管道的水力計(jì)算都可以用管段流量q\,水頭損失h\,管徑D\,管長(zhǎng)L和管壁條件C等5個(gè)因素來(lái)描述。一般D、L和C為已知條件,只有q和h未知。因此,求解一個(gè)管網(wǎng)的水力平衡問(wèn)題,可從兩方面考慮:一是利用q和h的關(guān)系,消去h,以q為未知量計(jì)算,求出q后,反求h;二是首先消去q,以h為未知量計(jì)算;解出h之后,再反求。圖論法也可從這兩方面入手,即求弦流量式和求枝摩損式。前者只適用于環(huán)狀網(wǎng),而后者則適用于所有類(lèi)型的管網(wǎng),所以本文著重介紹后者。
設(shè)一管網(wǎng)有J個(gè)節(jié)點(diǎn),P條管段,L個(gè)環(huán),則三者滿足L=P-J+1的關(guān)系。管網(wǎng)的每一管段都有q和h兩個(gè)未知量,因而未知量的個(gè)數(shù)為2P。但管網(wǎng)環(huán)方程有L個(gè) 法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究,線性無(wú)關(guān)的連續(xù)性方程有J-1個(gè),總數(shù)為L(zhǎng)+J-1=P個(gè),不能求解2P個(gè)未知量[1]。因此,必須借助P個(gè)管段摩損方程式。管段摩損方程式線性化后的通式如(7)和(8)所示。系數(shù)R稱(chēng)為阻尼系數(shù),Y稱(chēng)為傳導(dǎo)系數(shù)。R和Y的具體形式與所選用的摩損公式有關(guān),是D、C、L的函數(shù)。摩損公式線性化后,R還是q的函數(shù),Y還是h的函數(shù)。不過(guò),在求解過(guò)程中,總是把R和Y當(dāng)作已知量來(lái)對(duì)待。
阻尼式:
h=R×q
(7)
傳導(dǎo)式:
q=Y×h
(8)
式中R和Y是阻尼系數(shù)和傳導(dǎo)系數(shù)矩陣。
如果摩損公式采用Hazen-William公式,則有:
h=R×q=10.68q1.852L/(C1.852D4.87)=10.68L|q|0.852/(C1.852D4.87)q
(9)
R=10.68L|q|0.852/(C1.852D4.87)
(10)
Y=1/R=C1.852D4.87/(10.68L|q|0.852)=C1.852D4.87/(10.68L)|q|-0.852
(11)
用h向量表示管段摩損:h表示枝摩損,h′表示弦摩損;
用q向量表示管段流量:q枝管段流量,q′表示弦管段流量。
割方程的右端項(xiàng)Q為脫離體所含節(jié)點(diǎn)流量之和。
方環(huán)程: Bf×h=0,即 [B U]× [ h ] =0 (12)
h′
割方程: Af×q=Q,即 [UA]× [ q ] =Q (13)
q′
傳導(dǎo)式: [ q ] = [ Y 0 ] × [ h ] (14)
q′ 0 Y′ h′
求枝摩損式(以管段摩損為未知量):
首先將傳導(dǎo)式(14)代入割方程(13)得:
[U A]×
[
Y
0
]
×
[
h
]
=Q
(15)
0
Y′
h′
由環(huán)方程(12)可得Bh+h′=0,即h′=-Bh,代入式(15)得:
[U A]× [ Y 0 ] × [ h ] =Q (16)
0 Y′ -Bh
即 h×[Y-AY′B]=Q (17)
根據(jù)正交定理得: h×[Y+AY′AT]=Q (18)
這就是圖論法的求枝摩損式計(jì)算公式。h即為枝管段的摩損向量。解得枝摩損值h后,其余變量可由相應(yīng)的公式求出。由環(huán)方程可得h′=-B×h,即可求出弦摩損向量h′,q、q′向量可以由式(14)求得。
式(11)中C1.852×D4.87/10.68×L對(duì)某一管段來(lái)說(shuō)是個(gè)常數(shù),可用W表示。則傳導(dǎo)系數(shù)Y可以表示為:
Y=W×|q|-0.852
(19)
在迭代計(jì)算時(shí),第一次可以直接用W代替Y進(jìn)行計(jì)算,求出h\,q后計(jì)算Y,再求新的q值,如此反復(fù)計(jì)算,直至前后兩次的q值符合給定的誤差標(biāo)準(zhǔn)為止。
為了避免可能出現(xiàn)的數(shù)值擺動(dòng)現(xiàn)象,在第三次迭代時(shí),用前兩次迭代結(jié)果的流量平均值作為初始流量值[2],即:
q=q(1)+q(2)2
(20)
求得q(3),……,這樣收斂速度加快。
3 管網(wǎng)附件
實(shí)際管網(wǎng)中,有許多控制、安全、量測(cè)設(shè)施,如加壓泵、控制閥、逆止閥、減壓閥等附件,對(duì)管網(wǎng)運(yùn)行產(chǎn)生重要影響。傳統(tǒng)計(jì)算方法都未涉及到管網(wǎng)附件問(wèn)題,不僅使計(jì)算準(zhǔn)確性受損,而且其計(jì)算程序無(wú)法用于日常管理工作。
圖論法處理管網(wǎng)附件時(shí),將附件所在管段視為特殊管段,這些管段的摩損式要根據(jù)其附件的水力學(xué)特征計(jì)算摩損值,再加入到管網(wǎng)中進(jìn)行水力平衡計(jì)算。本文給出幾種較常見(jiàn)管網(wǎng)附件的處理方法。對(duì)于其它附件,具體問(wèn)題具體處理,在此就不一一詳述了。
3.1 普通閥門(mén) 閘板式閥門(mén)是用得最多的一種閥門(mén),在一 般的水力計(jì)算過(guò)程中,閘板式閥門(mén)的水頭損失計(jì)算一般引用公式hf=ξ×v2/2g,ξ值見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。
其中,a表示管段中過(guò)水?dāng)嗝娴母叨?d表示管段直徑,a/d表示閥門(mén)開(kāi)關(guān)。當(dāng)開(kāi)度為0時(shí),閥門(mén)完全關(guān)閉,沒(méi)有流量通過(guò);當(dāng)開(kāi)度為1時(shí),閥門(mén)完全打開(kāi),對(duì)水流不產(chǎn)生影響。
將閥門(mén)水頭損失公式用流量表示為:hf=ξ×v2/2g=ξ×2q2/π2gD2
則阻尼系數(shù)R為:R=2ξq/π2gD2;傳導(dǎo)系數(shù)為:Y=π2gD2/2ξ×q-1
計(jì)算時(shí)只需將閘板式閥門(mén)的R或Y值加入,即可計(jì)算。
蝶閥的計(jì)算方法與閘板式閥門(mén)類(lèi)似
3.2 逆止閥 逆止閥是管網(wǎng)中最常見(jiàn)的設(shè)備之一,是水流方向控制設(shè)備,只允許水流單向通過(guò)。
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