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燈泡貫流式水電站廠房三維靜動(dòng)力分析3
燈泡貫流式水電站廠房三維靜動(dòng)力分析3 摘要:國(guó)內(nèi)水利水電工程建設(shè)目前正處于前所未有的蓬勃發(fā)展時(shí)期,許多低水頭徑流式水電站建設(shè)逐步在我國(guó)的江河上興建,其中燈泡貫流式水電站由于流道平坦,機(jī)組過(guò)流量大、單位轉(zhuǎn)速高、效率高、尺寸小、重量輕、能量及經(jīng)濟(jì)指標(biāo)好等優(yōu).點(diǎn)成為目前比較普遍的一種開(kāi)發(fā)型式。然而,由于燈泡貫流式水電站廠房獨(dú)特的布置型式,致使應(yīng)力分布有不同于常規(guī)水電站廠房的特點(diǎn),特別是在高地震烈度區(qū)修建的燈泡貫流式水電站。因此,本項(xiàng)目的研究分析具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。
關(guān)鍵詞:燈泡貫流式水電站 靜 動(dòng)力計(jì)算分析 有限元
2 有限單元方法及靜動(dòng)力分析理論
2.1 引言
在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi),對(duì)于許多力學(xué)問(wèn)題和物理問(wèn)題,都可以歸結(jié)為在定邊界條件下求解其控制方程、常微分方程或者偏微分方程的問(wèn)題。但是能夠采用解析方法求出精確解的只是少數(shù)方程性質(zhì)比較簡(jiǎn)單、幾何形狀相當(dāng)規(guī)則的問(wèn)題。對(duì)于大多數(shù)的工程技術(shù)問(wèn)題,由于方程的某些非線性特征,或者由于求解區(qū)域的幾何形狀比較復(fù)雜,則不能夠得到解析的答案。這類(lèi)問(wèn)題的解決通常有兩種途徑。一是引入簡(jiǎn)化假設(shè),將方程和幾何邊界簡(jiǎn)化為能夠處理的情況,從而得到問(wèn)題在簡(jiǎn)化狀態(tài)下的解。但是這種方法只在有限的情況下是可行的,因?yàn)檫^(guò)多的簡(jiǎn)化可能導(dǎo)致誤差很大甚至錯(cuò)誤的解答。另一種途徑是保留問(wèn)題的復(fù)雜性,利用數(shù)值計(jì)算方法求得問(wèn)題的近似數(shù)值解,隨著電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛使用,已逐步趨向于采用這種方法來(lái)求解復(fù)雜的工程實(shí)際問(wèn)題。而有限單元法便是解決這些復(fù)雜工程問(wèn)題的一個(gè)比較新穎并且十分有效的數(shù)值方法[54]。
有限單元法的基本思想早在二十世紀(jì)四十年代初期就有人提出,但真正用于工程中則是在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后�！坝邢拊獑卧ā边@一名稱(chēng)是1960年美國(guó)的Clough.R.W在一篇名為“平面應(yīng)力分析的有限元法”論文中首先使用的。40年來(lái),隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等科學(xué)的日益發(fā)展,有限元法的理論和應(yīng)用都得到了迅速、持續(xù)的發(fā)展。有限單元法是目前工程技術(shù)領(lǐng)域中實(shí)用性最強(qiáng),應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值方法,它的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題,由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題;分析對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等;從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域;在工程分析中的作用已經(jīng)從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)相結(jié)合,成為科學(xué)研究和工程計(jì)算的一種最重要的方法。
有限單元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、并且按一定方式相互聯(lián)接在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯(lián)接方式進(jìn)行組合,而且單元本身又可以有不同形狀,因此可采用有限個(gè)單元對(duì)幾何形狀復(fù)雜的求解域進(jìn)行離散。有限單元法作為數(shù)值分析方法的另一個(gè)重要特點(diǎn)是利用每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示整個(gè)求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)或者及其導(dǎo)數(shù)在單元的各個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來(lái)表示。這樣,該問(wèn)題的有限元分析中,未知場(chǎng)函數(shù)或者及其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量(即自由度),從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。一經(jīng)求解出這些未知量,就可以通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的近似值,從而得到整個(gè)求解域上的近似解。顯然隨著單元數(shù)目的增加,也即單元尺寸的縮小,或者隨著單元自由度的增加以及插值函數(shù)精度的提高,解的近似程度將不斷改進(jìn)。如果單元滿(mǎn)足收斂要求,近似解最終將收斂于精確解。
有限單元法的實(shí)現(xiàn)必須通過(guò)計(jì)算機(jī)[55]。全部有限單元法的計(jì)算原理和數(shù)值方法集中反應(yīng)在有限單元法的程序中,因此有限單元法的程序極為重要。60年代末70年代初,隨著有限單元法的日益成熟和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了大型通用有限元程序。到80年代初期,國(guó)際上較大型的面向工程的有限元通用程序達(dá)到幾百種,其中著名的有ANSYS、NASTRAN、ASKA、ADINA、SAP等。它們多采用 FORTRAN 語(yǔ)言編寫(xiě),規(guī)模達(dá)幾萬(wàn)條甚至幾十萬(wàn)條語(yǔ)句,其功能越來(lái)越完善,不僅包含多種條件下的有限元分析程序,而且?guī)в泄δ軓?qiáng)大的前處理和后處理程序。由于這些有限元程序功能強(qiáng)、使用方便、計(jì)算精度高、效率高,其計(jì)算結(jié)果已成為各類(lèi)工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和性能分析的可靠依據(jù)。目前,大型通用有限元分析程序通過(guò)不斷吸收計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的最新成果,將有限元分析、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合,已經(jīng)成為解決現(xiàn)代工程問(wèn)題必不可少的有力分析工具利用有限元分析程序。
利用有限元分析軟件,人們可以對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和優(yōu)化設(shè)計(jì),解決常規(guī)設(shè)計(jì)難以解決的問(wèn)題,在產(chǎn)品設(shè)計(jì)的早期階段就能預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的故障,從而提高產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量降低產(chǎn)品開(kāi)發(fā)成本,縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)和分析的循環(huán)周期,提高產(chǎn)品和工程的可靠性,減少設(shè)計(jì)成本。
2.2有限單元法的基本概念[54,55]
有限單元法的基本思想是將問(wèn)題的求解域劃分為一系列單元,單元之間僅靠節(jié)點(diǎn)連接。單元內(nèi)部點(diǎn)的待求物理量可由單元節(jié)點(diǎn)物理量通過(guò)選定的函數(shù)關(guān)系插值求得。由于單元形狀簡(jiǎn)單,易于由平衡關(guān)系或能量關(guān)系建立節(jié)點(diǎn)之間的方程式,然后將各個(gè)單元方程“裝配”在一起形成總體代數(shù)方程組,加入邊界條件后即可對(duì)方程組求解。
有限單元法分析計(jì)算基本思路可以歸納如下:
(1)物體離散化
首先將某個(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型,然后利用單元的節(jié)點(diǎn)將離散后的單元與單元相互連接起來(lái)。單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。一般情況下,單元?jiǎng)澐衷郊?xì)則描述變形情況越精確,越接近實(shí)際變形,但是這樣計(jì)算量也越大。所以,有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已經(jīng)不是原有的連續(xù)物體或者結(jié)構(gòu),而是同樣材料的眾多單元以一定方式聯(lián)接成的離散體。 因此,有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似解。如果劃分的單元數(shù)目足夠多且又合理,則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。
(2)單元特性分析
①選擇位移模式
從選擇基本未知量的角度來(lái)看,有限元法可以分為三類(lèi):位移法、力法和混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化,所以在有限元法中應(yīng)用范圍最廣。
采用位移法時(shí),物體或結(jié)構(gòu)離散后,就可把單元中的一些物理量如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。這時(shí)可以對(duì)單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)來(lái)描述。通常,有限元法中我們將位移視為坐標(biāo)變量的簡(jiǎn)單函數(shù),這種函數(shù)稱(chēng)為位移模式或位移函數(shù)。
②分析單元的力學(xué)性質(zhì)
根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等,找到單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式, 推導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?這是有限元法的基本步驟之一。
③計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力
物體或者結(jié)構(gòu)離散后,假設(shè)力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元的。但是對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體,力是從單元的公共邊界傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而,作用在單元邊界上的表面力、體積力或者集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去,也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有作用在單元上的力。
(3)單元組集
利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái),形成整體的有限元方程:
Kq=f (2-1)
式中K是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;q是節(jié)點(diǎn)位移列陣;f是載荷列陣。
(4)求解未知節(jié)點(diǎn)位移
解有限元方程式Kq=f得出結(jié)構(gòu)。這里,可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇合適的計(jì)算方法。
通過(guò)上述分析,可以看出,用有限元法的基本思想是“一分一合”,分是為了進(jìn)行單元分析,合則是為了對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。
2.3結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法[53]
靜力分析是工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中使用最為頻繁的分析,主要用來(lái)求解結(jié)構(gòu)在與時(shí)間無(wú)關(guān)或者時(shí)間作用效果可忽略的靜力載荷(如集中/分布靜力、溫度載荷 強(qiáng)制位移、慣性力等)作用下的響應(yīng),并得出所需的節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力、約束反力、單元內(nèi)力、單元應(yīng)力和應(yīng)變能等。工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中經(jīng)常采用靜力分析來(lái)分析結(jié)構(gòu)承受極端載荷時(shí)的響應(yīng),得到相應(yīng)的最大應(yīng)變、應(yīng)力和位移,進(jìn)而討論結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度問(wèn)題。而且靜力分析同時(shí)也可以求解結(jié)構(gòu)的重量、重心以及慣性矩等。
2.3.1結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法解題步驟
結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法主要解題步驟可以歸納如下:
(1)單元剖分和插值函數(shù)的確定:
根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何特性、載荷情況及所有求解的變形點(diǎn),建立由各種單元組成的計(jì)算模型。再按照單元的性質(zhì)和精度要求,寫(xiě)出表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移函數(shù)。
為了求解任意單元節(jié)點(diǎn)的位移,可先把所求節(jié)點(diǎn)位移假設(shè)為坐標(biāo)的某種函數(shù),這就是選用位移函數(shù)的問(wèn)題。一般情況,可將所求的節(jié)點(diǎn)位移表示為坐標(biāo)的冪函數(shù),即采用多項(xiàng)式的模式。當(dāng)單元很小時(shí),單元內(nèi)一點(diǎn)的位移可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)的位移插值來(lái)表示。對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu),可以將所求節(jié)點(diǎn)的位移表示為坐標(biāo) 燈泡貫流式水電站廠房三維靜動(dòng)力分析3的線性函數(shù),這種單元的位移函數(shù)非常簡(jiǎn)單 大大簡(jiǎn)化了所討論的問(wèn)題。
根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的邊界條件 節(jié)點(diǎn)位移的矩陣形式可表示為:
(2-2)
單元內(nèi)部任意點(diǎn)位移的矩陣形式:
(2-3)
用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體內(nèi)部任意點(diǎn)位移的插值函數(shù)式:
(2-4)
式中a為位移參數(shù),N為位移的形態(tài)函數(shù),為節(jié)點(diǎn)位移,d為單元內(nèi)任意點(diǎn)位移根據(jù)物理關(guān)系。
(2)單元特性分析
根據(jù)位移插值函數(shù),由彈性力學(xué)中給出的應(yīng)變和位移關(guān)系,可計(jì)算出應(yīng)變?yōu)?
(2-5)
相應(yīng)的變分為:
(2-6)
式中B為應(yīng)變矩陣。
根據(jù)物理關(guān)系,得到應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系式為得到應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系式為:
(2-7)
式中D為彈性矩陣。
由虛位移原理,可得到單元節(jié)點(diǎn)力與位移之間的關(guān)系式:
(2-8)
式中Ke為單元特性, 即單元?jiǎng)偠染仃?它可表示為:
(2-9)
(3)單元組集
把各單元按節(jié)點(diǎn)組集成與原結(jié)構(gòu)相似的整體結(jié)構(gòu),得到整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu),處于小變形范圍內(nèi),由彈性力學(xué)中的平衡方程、物理方程和幾何方程可以推導(dǎo)出靜力問(wèn)題中有限單元法的基本方程,即整體結(jié)構(gòu)平衡方程組: f=Kq式中,K為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,f為總的載荷列陣q為整體結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)的位移列陣。
對(duì)于結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析載荷列陣f可包括:
f=fT+fm+fp (2-10)
其中:體積力轉(zhuǎn)移;表面力轉(zhuǎn)移;集中力轉(zhuǎn)移
(4)求解有限元方程
可采用不同的計(jì)算方法求解有限元方程。注意在求解之前,必須對(duì)結(jié)構(gòu)平衡方程組進(jìn)行邊界條件處理,然后再求解節(jié)點(diǎn)的位移q。
(5)計(jì)算應(yīng)力
如果要求計(jì)算結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力,則在計(jì)算出各單元的節(jié)點(diǎn)位移后,由式(2-5)和(2-7)即可求出相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力。
2.3.2結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元分析程序流程
在結(jié)構(gòu)靜力分析中,有限元分析依據(jù)離散模型的數(shù)據(jù),形成有限元求解方程f=Kq的整體剛度矩K,總的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣f,并解方程得到整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣q,其主要過(guò)程的一般流程如下:
圖2-1 靜力分析中有限元的流程圖
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