有 趣 的 悖 論

有 趣 的 悖 論

有 趣 的 悖 論孫宏濤 10月16日  一、羅素悖論   一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)。于是有人問(wèn)他：“您的頭發(fā)誰(shuí)給理呢？”理發(fā)師頓時(shí)啞口無(wú)言。   1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分?jǐn)?shù)學(xué)分支，成為它們的基礎(chǔ)。到十九世紀(jì)末，全部數(shù)學(xué)幾乎都建立在集合論的基礎(chǔ)上了。就在這時(shí)，集合論接連出現(xiàn)了一系列自相矛盾的結(jié)果。特別是1902年羅素提出理發(fā)師故事反映的悖論，它極為簡(jiǎn)單、明確、通俗。于是，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學(xué)危機(jī)”。此后，為了克服這些悖論，數(shù)學(xué)家們做了大量研究工作，由此產(chǎn)生了大批新成果，也帶來(lái)了數(shù)學(xué)觀念的革命。   二、說(shuō)謊者悖論：   “我正在說(shuō)的這句話是慌話�！惫�元前四世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德提出的這個(gè)悖論，至今還在困擾著數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家。這就是著名的說(shuō)慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀(jì)出現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)克里特島哲學(xué)家愛皮梅尼特曾說(shuō)過(guò)：“所有的克里特島人都說(shuō)慌。”在中國(guó)古代《墨經(jīng)》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說(shuō)在其言�！币馑际牵阂詾樗�有的話都是錯(cuò)的，這是錯(cuò)的，因?yàn)檫@本身就是一句話。   說(shuō)慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：   下一句話是慌話。   上一句話是真話。   更有趣的是下面的對(duì)話。甲對(duì)乙說(shuō)：“你下面要講的是‘不’，對(duì)不對(duì)？請(qǐng)用‘是’或‘不’來(lái)回答！”   還有一個(gè)例子。有個(gè)虔誠(chéng)的教徒，他在演說(shuō)中口口聲聲說(shuō)上帝是無(wú)所不能的，什么事都做得到。一位過(guò)路人問(wèn)了一句話：“上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來(lái)的石頭嗎？”   三、芝諾悖論：   阿基里斯是希臘傳說(shuō)中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然發(fā)現(xiàn)在他前面一百米遠(yuǎn)的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說(shuō)：“阿基里斯，誰(shuí)說(shuō)你跑得最快？你連我都追不上！”阿基里斯說(shuō)：“胡說(shuō)！我的速度比你快何止上百倍！就算剛好是你的十倍，我也馬上就可以超過(guò)你！”烏龜說(shuō)：“就照你說(shuō)的，咱們來(lái)試一試吧！當(dāng)你跑到我現(xiàn)在這個(gè)地方，我已經(jīng)向前跑了十米。當(dāng)你向前跑過(guò)十米時(shí)，我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過(guò)的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來(lái)越近，卻永遠(yuǎn)也追不上我！”阿基里斯說(shuō)：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你說(shuō)的好像也有道理。這到底是怎么回事呢？”   這個(gè)有趣的悖論，是公元前五世紀(jì)古希臘哲學(xué)家芝諾提出來(lái)的。在兩千多年的時(shí)間里，它使數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家傷透了腦筋。芝諾悖論關(guān)鍵是使用了兩種不同的時(shí)間測(cè)度。原來(lái)，我們用來(lái)測(cè)定時(shí)間的任何一種“鐘”，都是依靠一種周期性的過(guò)程作標(biāo)準(zhǔn)的。如太陽(yáng)每天東升西落，月亮的圓缺變化，一年四季的推移，鐘擺的運(yùn)動(dòng)等等。人們正是利用循環(huán)或重復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)作為時(shí)間的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的。   芝諾悖論中除了普通的鐘以外，還有另一種很特別的“鐘”，這就是用阿基里斯每次到達(dá)上次烏龜?shù)竭_(dá)的位置作為一個(gè)循環(huán)。用這種重復(fù)性過(guò)程測(cè)得的時(shí)間稱為芝諾時(shí)。例如，當(dāng)阿基里斯第N次到達(dá)烏龜在第N次的起點(diǎn)時(shí)，芝諾時(shí)記為N，這樣，在芝諾時(shí)為有限的時(shí)刻，阿基里斯總是落在烏龜?shù)暮竺妗５�是在我們的鐘表上，假如阿基里斯跑完一百米用了一分鐘，那么他到達(dá)第二次烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)要六秒鐘，下一次要0.6秒，實(shí)際上，他只需要分鐘就可以追上烏龜了。因此，芝諾時(shí)的產(chǎn)生原因，是在于“芝諾時(shí)”不可能測(cè)量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象。在芝諾時(shí)達(dá)到無(wú)限后，正常計(jì)時(shí)仍可以進(jìn)行，只不過(guò)芝諾的“鐘”已經(jīng)無(wú)法測(cè)量它們了。   這個(gè)悖論實(shí)際上是反映了時(shí)空并不是無(wú)限可分的，運(yùn)動(dòng)也不是連續(xù)的。即樸素的量子論。   悖論反映了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)并不是鐵板一塊，它的數(shù)學(xué)概念，原理之中也存在許多矛盾。數(shù)學(xué)就是在解決矛盾中逐漸發(fā)展完善起來(lái)的。悖論的存在，還告訴我們，在學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)時(shí)，必須牢記古希臘數(shù)學(xué)家的名言：要懷疑一切，只有這樣才能有所發(fā)現(xiàn)。       

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　　班主任工作不僅是在班集體中全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)學(xué)校的規(guī)章制度，實(shí)施素質(zhì)教育，完成教學(xué)計(jì)劃，使學(xué)生在德、智、體、美等方面都得到全面發(fā)展；而且班主任是溝通學(xué)校、家庭、社會(huì)共同對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育的主要支點(diǎn)。作為一名在鄉(xiāng)小學(xué)任教的班主任，應(yīng)做到以下幾點(diǎn)。....

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我很欣賞一句話：教師的工作是托起明天的太陽(yáng)。是啊，我們今天的一切工作，不就是為了每一個(gè)學(xué)生都能擁有一個(gè)輝煌的未來(lái)嗎？我們所做的一切，無(wú)非是為孩子未來(lái)的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)，使他們具備再發(fā)展所必須....

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今年6月，我送走了又一批初中畢業(yè)生�；厥兹�年來(lái)班主任工作，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，對(duì)于我今后的工作會(huì)有一定的啟示和指導(dǎo)作用。

一、把競(jìng)爭(zhēng)的機(jī)制引入倒班級(jí)管理中來(lái)。

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問(wèn)題的提出：

⒈學(xué)生《行為規(guī)范》的養(yǎng)成教育是學(xué)校德育的基礎(chǔ)工程，是現(xiàn)代教育的重要內(nèi)容。養(yǎng)成教育過(guò)程必定伴隨系列思想活動(dòng)，而思想活動(dòng)的過(guò)程又以一定....

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原載于《真源教育資源網(wǎng)》

    著名的教育改革家魏書生曾這樣說(shuō)過(guò)：“班級(jí)像一個(gè)大家庭，同學(xué)們?nèi)缧值芙忝冒慊ハ嚓P(guān)心著、幫助著，互相鼓舞著、照顧著....

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江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 戴建萍

    班集體作為學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程中的一個(gè)重要組成部分，她是學(xué)生成長(zhǎng)的搖藍(lán)。實(shí)踐證明，良好的班集體始終激勵(lì)著學(xué)生不斷進(jìn)....

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    所謂創(chuàng)造性個(gè)性品質(zhì)主要是指具有創(chuàng)造的意向、創(chuàng)造的情感、創(chuàng)造的意志和創(chuàng)造的性格等獨(dú)特的心理品質(zhì)。它包括自信、勇敢、獨(dú)立性強(qiáng)、有恒心、一絲不茍等良好的人格特征。如何在班級(jí)管理中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性個(gè)性品質(zhì)呢？<....

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    在學(xué)校管理中，班級(jí)管理是一個(gè)重要方面。班級(jí)管理包括學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)對(duì)班級(jí)的管理和班主任對(duì)班級(jí)的管理，還包括學(xué)生參與管理。其中，主要是班主任對(duì)班級(jí)的管理。班級(jí)管理原則對(duì)于建立和發(fā)展班級(jí)集體，全面實(shí)現(xiàn)班級(jí)目標(biāo)以及全面提高教育質(zhì)量....