數(shù)學(xué)的另一面：猜想和發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)的另一面：猜想和發(fā)現(xiàn) 　創(chuàng)造，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中意味著什么？許多教師認(rèn)為，學(xué)生不可能有“本質(zhì)”的創(chuàng)造，他們在數(shù)學(xué)上的“創(chuàng)造”就是一題多解。張思明卻不這樣看，他說：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個有指導(dǎo)的再創(chuàng)造過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生的再創(chuàng)造。相對于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造來說，學(xué)生的創(chuàng)造大體上是一種相對于他們的已知世界和舊有知識體系的自主地拓展、開掘和再創(chuàng)造的工作，它應(yīng)該或盡量由學(xué)生相對獨(dú)立地去完成�！睘榱税l(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生建構(gòu)知識的過程，努力挖掘創(chuàng)新點(diǎn)，給學(xué)生提供充分的再創(chuàng)造機(jī)會�！　”娝�周知，把立體幾何平面化，把多維問題降維，是解決立體幾何問題的基本思路。如何將這種方法教給學(xué)生呢？張思明在黑板上畫出兩種圖形，左邊是已學(xué)過的正三角形，右邊是還未學(xué)過的正四面體。他請學(xué)生觀察它們的異同，并且根據(jù)正三角形的性質(zhì)猜測正四面體的性質(zhì)。學(xué)生們通過觀察，對平面圖形與立體圖形的異同有了直觀認(rèn)識，經(jīng)過討論，得出了正四面體的一些性質(zhì)(見下圖)(略） 問題并沒有到此結(jié)束，張思明又啟發(fā)學(xué)生，讓他們自己找一找比較類似的平面圖形和立體圖形，并且按照上面的方法找出立體圖形的性質(zhì)。這個問題具有開放性，學(xué)生們找出了很多圖形來進(jìn)行對比：直角三角形和特殊三棱錐(墻旮旯)、一般三角形和一般三棱錐、正方形和正方體、矩形和長方體、平行四邊形和平行六面體、圓和球、扇形和球扇形。對于這些圖形，張思明指導(dǎo)學(xué)生先從平面到立體進(jìn)行類比的聯(lián)想、猜測，找出哪些性質(zhì)可以由平面“自然”遷移到立體；再引導(dǎo)他們逆向思考，看看是否有立體圖形成立而平面圖形不成立的性質(zhì)。隨著問題的逐步深入和難度的逐漸加深，學(xué)生慢慢掌握了從平面幾何到立體幾何“合情推理”的方法，他們的智力潛能以及探求科學(xué)真理的勇氣也被充分地調(diào)動起來�！　�     匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)�！眰鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)“演繹推理”的作用，甚至有“將數(shù)學(xué)窄化為演繹”的傾向。由于演繹是一種從一般規(guī)則推導(dǎo)出特例的推理方法，學(xué)生就總是先學(xué)概念、定理，然后再運(yùn)用它們?nèi)ソ忸}。課堂上知識的建構(gòu)往往被“聽講”所代替，學(xué)生看不到數(shù)學(xué)“生動活潑”的面孔，更沒法享受“發(fā)現(xiàn)的樂趣”。張思明大膽地將立體幾何的教學(xué)變成了學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)之旅”，不僅使他們在一種興奮的狀態(tài)中接觸了數(shù)學(xué)知識，而且初步了解了歸納、類比、猜想等對于日常生活和科學(xué)發(fā)現(xiàn)都極為重要的思維方法。當(dāng)被問及“猜想”的教育價值，張思明不無感慨地說到：“數(shù)學(xué)上講‘大膽推理，小心求證’。但中國人的毛病就是大膽的方面都已經(jīng)退化了。學(xué)生剛剛說點(diǎn)自己的想法，就遭到‘棒殺’。小孩子把太陽畫成藍(lán)色的，老師就會批評他是色盲。孩子會說，從家里的彩色玻璃看出去，太陽就是藍(lán)的；或是夏天的時候，太陽要是藍(lán)的，人們該有多清爽啊。‘大膽猜想’的思維方式在中國人身上已經(jīng)退化了，還是應(yīng)該鼓勵孩子們?nèi)ハ耄�特別是基礎(chǔ)教育。想的時候要大膽，但求證的時候一定要認(rèn)真，這就是一種數(shù)學(xué)意識�！痹诮虒W(xué)實(shí)踐中，張思明還把這種想法滲透于習(xí)題課的教學(xué)之中，提出要充分發(fā)揮班級教學(xué)的優(yōu)勢，鼓勵學(xué)生之間互相討論和啟發(fā)。“要讓學(xué)生自己提出猜想，這樣，他就會有追求證明的渴望，此時的數(shù)學(xué)教學(xué)才最富有吸引力�！苯處熤挥性趯W(xué)生受阻的時候才給些方向性的點(diǎn)撥，而不要硬把他們趕上事先預(yù)設(shè)好的道路。只有這樣，學(xué)生才能體驗(yàn)到猜想和發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能真正提高提出問題和解決問題的能力。

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一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

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平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

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數(shù)學(xué)課堂生活化

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