平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

長沙市芙蓉區(qū)馬王堆中學(xué)   曾志明

我們知道，兩組對邊分別平行，或者一組對邊平行且相等，或者兩組對邊分別相等，或者兩組對角分別相等，或者對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。那么，一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是不是平行四邊形呢？下面，我們就此進(jìn)行探索。

以下，我們總設(shè)在四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC。

1．  若∠A=∠C=Rt∠                                             

在Rt△ABD和Rt△CDB中    

   BD=DB

   AD=BC

∴Rt△ABD≌Rt△CDB  (HL)                        

∴∠1=∠2                                          B                    C

∴AD∥BC

而 已知AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

2．  若∠A=∠C﹥Rt∠

連結(jié)BD，分別過D、B向AB、CD作垂線DE、BF；E、F為垂足

∵∠1=∠2                                                E

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而 DE⊥BE、BF⊥DF

∴∠E=∠F=Rt∠                                     A                     D

又 AD=BC                    

∴△ADE≌△CBF     （AAS）                        

∴DE=BF                                           5

在Rt△BDE和Rt△DBF中                       B                     C

   DE=BF

   BD=DB

∴Rt△BDE≌Rt△DBF  （HL）                                    F

∴∠5=∠6

由三角形內(nèi)角和定理。得

  ∠7=∠8

∴AD∥BC

而 已知AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

3．  若∠A=∠C﹤Rt∠

先作等腰△DAG，使DA=DG。作DH⊥AG，H為垂足，在AH上取點(diǎn)B（不與A、H重合）。使BG﹤DG連結(jié)DB，并作DB的中垂線EF

∵BG﹤DG

∴點(diǎn)G不在EF上

作點(diǎn)G關(guān)于EF的對稱點(diǎn)C，連結(jié)BC，DC。

（1）∵△CDB與△GBD關(guān)于EF對稱

∴∠G=∠C     DG=BC

而∠A=∠G     DA=DG                             D

∴∠A=∠C，DA=BC

另外BG﹤DG

∴∠GDB﹤∠GBD                                                   C

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC                        E               

=∠ABD+∠GDB                                               

﹤∠ABD+∠GBD                                               F    

=180°                     A            

即∠ABC﹤180°                               B   H             G

故四邊形ABCD是滿足條件的四邊形

即一組對角相等（∠A=∠C ）

一組對邊相等（ DA=BC ）

（2）∵B在AH上，且不與A、H重合

     ∴AB﹤BG

     而BG=DC

     ∴AB﹤DC

    故四邊形ABCD不是平行四邊形。

綜上所述，一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形

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一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

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數(shù)學(xué)課堂生活化

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