一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

    湖北省云夢縣夢澤高中   周曉文

這是一次作業(yè)中的一道題:

問題：是否存在同時滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由：

（1）       漸近線為x+2y=0及x-2y=0;

（2）       點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離的最小值為 .

這是一道流傳較廣的試題, 題目綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高. 不出所料，作業(yè)收上來后，能夠完整做對的學(xué)生為數(shù)寥寥. 然而我又欣喜地看到，盡管有些學(xué)生還不能完整地解決，但是如果循著學(xué)生的思路對此題進(jìn)行重新審視，發(fā)現(xiàn)只要發(fā)動學(xué)生對這些思路進(jìn)行評判、再探索，這其實是一個很好的研究性學(xué)習(xí)素材. 于是我專門用了一節(jié)課對此題作了評講.

我先出示了學(xué)生T對此題的部分解答：

解：當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時（焦點在y軸上的情況他還未考慮出），易知雙曲線的右頂點到點A的距離最短.

由雙曲線漸近線為 , 可設(shè)雙曲線方程為 (b

    雙曲線的右頂點為（2b,0）,

   .    故 .

因此這樣的雙曲線存在，且其方程為： .

盡管是部分解答，卻也夠“簡潔”了！當(dāng)同學(xué)們看完解答后，一時竟沒有學(xué)生提出疑議——顯然，他們也認(rèn)為解答中用到的一個“事實”：雙曲線的右頂點到點A的距離最短無疑是正確的. 經(jīng)過一番思索后，終于有思維慎密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)對此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根據(jù). 這時我適時地啟發(fā)道，數(shù)學(xué)講求的是嚴(yán)密，有時光憑猜測、估計，還不能揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)特征，這個問題中，究竟是不是雙曲線的右頂點到點A的距離最短，并不是“易知”的，它還需要我們的精確論證. 那么，我們能否對此問題作一研究呢？

同學(xué)們一個個情緒高漲，躍躍欲試. 不久，幾個成績較好的學(xué)生拿出了他們的研究成果：設(shè)雙曲線方程為 （ > >0）， A(m,0)(m>0)為x軸正半軸上一點，設(shè)P（x,y）為雙曲線上任一點，其中 .

則

      =

      =

      = .

（1）

則當(dāng) 時， 最小.

（2）       若  即0< < ，亦即 < ，

則當(dāng) 時，     最小.

至此問題已得到解決，當(dāng)點A的橫坐標(biāo) 滿足0< < 時，雙曲線的右頂點到點A的距離最短（此時點A有可能在右頂點左側(cè)，也有可能在右頂點右側(cè)，在右頂點右側(cè)時 < < ）;當(dāng) ≥ 時，雙曲線上有兩點到點A的距離最短（其橫坐標(biāo)均為 .

依據(jù)此結(jié)果重新審視學(xué)生T的解答，可知答案

畢竟是自己研究得到的成果，同學(xué)們的興奮之情溢于言表，這時，我又出示了學(xué)生S對此題的解答.

解：假設(shè)滿足條件的雙曲線存在，且設(shè)其方程為 ，雙曲線上到點A距離最短的點即以點A為圓心、 為半徑的圓與雙曲線相切時的切點.

聯(lián)立 ,    消y得： .

    雙曲線與圓相切,

   .                = 1.

故滿足條件的雙曲線存在，且其方程 .

乍一看，學(xué)生S的解答是無懈可擊的，并且方法簡捷、明快，顯然，這是在學(xué)習(xí)了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系后，學(xué)生用判別式討論圓錐曲線與圓錐曲線位置關(guān)系的一個大膽的遷移，如果沒有前面的分析作鋪墊，我相信幾乎所有的學(xué)生會認(rèn)為這個解答是完滿的. 但是，正因為有前面對此問題的研究，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，這個解答剛好是學(xué)生S沒有研究的情形，而對于雙曲線焦點在x

為什么會失去解呢？我不失時機(jī)地提出這個問題.

同學(xué)們一個個雙眉緊蹙，陷入了思索之中. 這時我進(jìn)一步啟發(fā)：我們已經(jīng)知道，直線和圓錐曲線存在相切的位置關(guān)系，那么圓錐曲線和圓錐曲線是否也能相切？又怎樣定義它們的相切？假設(shè)它們能夠相切，由它們的方程（假設(shè)都是標(biāo)準(zhǔn)方程）聯(lián)立成的方程組消去一個未知數(shù)后得到的一元二次方程的判別式是否一定為零？正在同學(xué)們對此問題還一時茫然時，有一個學(xué)生小聲嘀咕道：把焦點在x軸上時得到的一個解檢驗一下不就得了.

不錯！我及時地表揚(yáng)了這個學(xué)生. 前面我們已得到雙曲線的一個解 ，如果認(rèn)為圓 與雙曲線是相切的，那么判別式是否為零呢？ 我把該生的想法重復(fù)了一遍后，幾乎所有的學(xué)生立即動起了筆：聯(lián)立、消y、求 ，嗬嗬， >0！

問題已經(jīng)解決，但我并沒有就此止步，又向?qū)W生提出了幾個研究性問題：判別式等于0時，圓錐曲線與圓錐曲線是否一定相切（假設(shè)已定義它們的相切）？怎樣根據(jù)方程組討論圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系？

幾個問題剛提出來，下課鈴也響了，然而此題正確的、完整的解答還沒有來得及給出，但是我相信，同學(xué)們從這一節(jié)課獲得的東西遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了解決這個題目本身。

作者單位：湖北省云夢縣夢澤高中  （432500）

電    話:    0712-4223812

1

2

3

一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

4

平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

5

6

數(shù)學(xué)課堂生活化

7

8

9

10