分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識，在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。如何改進(jìn)并加強(qiáng)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)，使它們能夠恰當(dāng)?shù)胤从硨嶋H應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)目的性和實踐性，真正做到提高教學(xué)質(zhì)量，重要的是認(rèn)真貫徹教學(xué)大綱的要求。對此，根據(jù)《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（以下簡稱“新大綱”）的有關(guān)精神，談幾點個人認(rèn)識和學(xué)習(xí)體會。
新大綱規(guī)定分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題，包括工程問題；百分?jǐn)?shù)的實際應(yīng)用包括發(fā)芽率、合格率、利息等計算，最多不超過三步計算，而且只限于比較容易的。這就從內(nèi)容上和難度上作了具體的限制，有利于保證基本的知識和解題能力的落實，防止任意拔高要求，人為地編造出許多不切實際的難題，加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。
新大綱對于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)要求，大致提出了以下三個方面的要求。
一、會解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
會解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的要求，一般是指能夠理解應(yīng)用題的題意，掌握最基本的數(shù)量關(guān)系，正確判別計算的方法，會列式計算，并且善于檢驗解答的合理性與準(zhǔn)確性。
由于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，跟整數(shù)應(yīng)用題相比，既有共性，又有它們的特殊性，要求學(xué)生既了解其共性，又能懂得它們的特殊性，使學(xué)生的認(rèn)知水平有所提高。對此，略舉數(shù)例如下。
1.分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題
分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題中的已知分?jǐn)?shù)有兩種情況：一種是表示具體的數(shù)量，另一種是表示兩個量的比。譬如：
①食堂第一天燒煤噸，第二天燒煤噸，兩天共燒煤多少噸？ 題中已知的分?jǐn)?shù)，都表示具體的數(shù)量，跟整數(shù)里求和應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是一致的，要求學(xué)生知道這是求兩個相同單位的量的和。
②食堂有一批煤，第一天燒去這批煤的，第二天燒去這批煤的，兩天共燒去這批煤的幾分之幾？題中已知的分?jǐn)?shù)，都是兩個量的比，而不是具體的數(shù)量。數(shù)量關(guān)系雖然跟整數(shù)里求和應(yīng)用題是一致的，這是共性；但是，學(xué)生要理解題中的、以及求出的和，都是對這批煤而言的，不是具體的量。
③地球表面積的是海洋，剩下的是陸地，陸地占地球表面積的幾分之幾？這一題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求剩余數(shù)，用減法計算是一致的，這是共性，可是題中只給出一個已知條件是，另一個條件要學(xué)生自己想象整個地球表面積看作“１”，然后用１－＝，這就是與整數(shù)應(yīng)用題不同的特殊性。
2.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題
分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，又具有新的數(shù)量關(guān)系，要求學(xué)生能夠辨析清楚。譬如：
①一輛汽車平均每分鐘行千米，３０分鐘行多少千米？這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求相同加數(shù)的和，或者說求的３０倍是一致的。
②１０個雞蛋重千克，平均每個雞蛋重多少千克？這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)除法題是一致的。
分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，又具有新的數(shù)量關(guān)系，通常分為三種情況，或者叫做分?jǐn)?shù)的三種基本應(yīng)用題：（１）求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的除法應(yīng)用題。（２）求一個數(shù)的幾分之幾是多少的乘法應(yīng)用題。（３）已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)的除法應(yīng)用題。（新大綱中沒有這些名稱，筆者為了便于分析，沿用了這些習(xí)慣名稱）上面三種情況中的幾分之幾，如果是百分?jǐn)?shù)，那末這三種情況就是百分?jǐn)?shù)的三種基本應(yīng)用題。這里，還得說明，新大綱只是要求教學(xué)分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題包括工程問題，以及百分?jǐn)?shù)的實際應(yīng)用問題，沒有具體規(guī)定教學(xué)哪些內(nèi)容的應(yīng)用題。考慮到各種不同風(fēng)格的教材，可能會有所取舍，因而還是按現(xiàn)行通用教材的內(nèi)容，研究教學(xué)的要求，供選擇參考。
（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾（百）分之幾的應(yīng)用題。
在實際生活中，經(jīng)常需要比較兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)它們的倍數(shù)等于１或大于１的時候，通常稱為“幾倍”；當(dāng)它們的倍數(shù)小于１的時候，通常稱為“幾分之幾”。在小學(xué)里，學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)應(yīng)用題的時候，只知道一個數(shù)是另一個數(shù)幾倍。如：白兔１６只，黑兔４只，白兔只數(shù)是黑兔的１６÷４＝４（倍）。那時，學(xué)生只知道兩個數(shù)量相比較的一個側(cè)面，到了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)以后，黑兔的只數(shù)也可以與白兔去比較，即黑兔的只數(shù)是白兔的４÷１６＝。當(dāng)他們學(xué)習(xí)了百分?jǐn)?shù)以后，應(yīng)當(dāng)讓他們知道：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍或幾分之幾，就統(tǒng)一為一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾了。
這類問題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求兩個數(shù)的倍數(shù)是一致的，要求學(xué)生掌握誰與誰相比較。如，甲是乙的幾分之幾，是用甲與乙相比較，那么乙是標(biāo)準(zhǔn)的量，甲是比較的量。并且知道用標(biāo)準(zhǔn)的量作除數(shù)。
可是，百分?jǐn)?shù)在實際應(yīng)用上，還有一些特殊性。求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，也叫做兩個數(shù)的百分比或百分率。例如，產(chǎn)品合格率，種子發(fā)芽率，工人出勤率，存款的利息率，向國家交稅的納稅率等。要使學(xué)生知道所求的這些“率”，都是用百分?jǐn)?shù)表示的，所以，在這些百分率的公式里，添上乘以１００％，表示求得的結(jié)果必須用百分?jǐn)?shù)表示。如，
小麥出粉率＝×１００％
在百分?jǐn)?shù)里，經(jīng)常會遇到除不盡的情況，應(yīng)該讓學(xué)生知道，除了指定精確度的以外，一般除到小數(shù)第四位，即萬分位，然后四舍五入取三位小數(shù)，化成百分?jǐn)?shù)后，百分號前面的數(shù)保留一位小數(shù)。并且知道百分號前面通常寫成小數(shù)形式，不用帶分?jǐn)?shù)的形式，如通常寫成３３.３％。
（2）求一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少的乘法應(yīng)用題。
新大綱在整數(shù)應(yīng)用題里，增加了求一個數(shù)的幾分之一或幾分之幾是多少的內(nèi)容，那時是用整數(shù)乘、除法計算的。例如，有學(xué)生６００人，其中十分之九（或）是少先隊員，求少先隊員有多少人。這就是把６００人分成１０等份，求出的是的人數(shù)，再乘以９，就是的人數(shù)，列式為：６００÷１０×９＝５４０（人）。學(xué)生有了這個基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，思考方法一致，只是把整數(shù)乘除的方法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。即
６００÷１０×９＝５４０（人）用分?jǐn)?shù)表示
×９＝６００×＝５４０（人）
這里，要求學(xué)生比較熟練地掌握求一個數(shù)的幾（百）分之幾是多少，用乘法計算的結(jié)論。
（3）已知一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數(shù)的除法應(yīng)用題。
這是分?jǐn)?shù)乘法的逆向題，也是學(xué)生容易與分?jǐn)?shù)乘法相混淆的問題，新大綱規(guī)定在分?jǐn)?shù)
四則計算的前面要學(xué)習(xí)簡易方程，到這里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求學(xué)生運用求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算的思考方法去解題。例如，一根鋼管的是４８厘米，這根鋼管長多少厘米？學(xué)生應(yīng)思考：（鋼管的長）×＝４８（厘米），設(shè)鋼管長x米，即x×＝４８或者x＝４８，x＝１９２。
有些題目，既可以用上述方法解答，也可以根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行思考。如，一個工程隊小時開鑿山洞米，求１小時開鑿山洞多少米。用上述方法解答，設(shè)１小時開鑿山洞x米，列方程為：x×＝或x＝，解得x＝。也可以根據(jù)：
工作總量÷工作時間＝單位時間的工作量
所以，列式為：÷＝（米）
以上是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，應(yīng)該讓學(xué)生理解并掌握。
二、能夠運用所學(xué)的知識解決生活中一些簡單的實際問題
新大綱中這個要求是小學(xué)階段最后一個學(xué)期的要求，在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題里也應(yīng)該貫徹這個精神。根據(jù)最多不超過三步計算的限制，再按照實際生活中常見的分?jǐn)?shù)問題、百分?jǐn)?shù)問題，大致要求學(xué)生掌握以下幾方面的實際問題。
1.求一個數(shù)比另一個數(shù)增加或減少百分之幾的問題。
這類問題在生活和生產(chǎn)上經(jīng)常要用到，例如，實際產(chǎn)量比計劃生產(chǎn)量增產(chǎn)百分之幾，或者本月用電比上月節(jié)約百分之幾等等。要求學(xué)生根據(jù)求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的思考方法，先要求出增產(chǎn)（或節(jié)約）的數(shù)量，然后把它與計劃生產(chǎn)的數(shù)量（或原來用電度數(shù)）相比。列式為：
（實際產(chǎn)量－計劃產(chǎn)量）÷計劃產(chǎn)量
或也可以先求出實際產(chǎn)量相當(dāng)于計劃產(chǎn)量的百分之幾，再求增產(chǎn)百之幾，列式為：
實際產(chǎn)量÷計劃產(chǎn)量－１００％＝增產(chǎn)的百分之幾
這類問題有一個重要的概念，必須讓學(xué)生掌握。學(xué)生在整數(shù)里已知５比３多２，３比５就必定少２。但是在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)里５比３多 ＝66.7％，反過來３卻并不比５少66.7％，而是少 ＝40％，因為它們相比較的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量不同，所以，兩個百分?jǐn)?shù)是不等的。
２．求一個數(shù)增加（減少）它的幾（百）分之幾是多少的應(yīng)用題以及這類問題的逆向問題。
例如，原有少先隊員４００人，現(xiàn)在增加１２％，現(xiàn)在有隊員多少人？這是求４００增加它的１２％以后是多少。要求學(xué)生能夠用兩種方法解答：
４００＋４００×１２％＝４００＋４８＝４４８（人）；
４００×（１＋１２％）＝４４８（人）。
這個應(yīng)用題的逆向題是：現(xiàn)在有少先隊員４４８，比原來增加了１２％，原來有少先隊員多少人？這是已知一個數(shù)增加了它的１２％以后是４４８，要求這個數(shù)。應(yīng)該使學(xué)生理解為原來的人數(shù)加上增加了它的１２％的人數(shù)等于現(xiàn)在的人數(shù)。 設(shè)原來為x人， 那么
x＋12％x＝448， 1.12x＝448， x＝400。
３．工程問題。
這是有關(guān)工作總量、單位時間的工作量（通常叫做工作效率）和工作時間的問題。這三者之間的關(guān)系是：
工作時間＝工作總量÷單位時間的工作量
例如，“一項工程，由甲隊修建需２０天完成，由乙隊修建需３０天完成，兩隊合修需要多少天完成？”
要求學(xué)生知道把整個工程看作“１”，還要知道甲隊每天可完成這項工程的，乙隊每天可完成這項工程的，兩隊合修一天可以完成這項工程的（＋），這是兩隊合修的工作效率，然后用工作總量除以工作效率，列式為：
１÷（＋）＝１２（天）
工程問題的變化很多，可以一個人獨做，也可以是幾個人合做的；可以是幾個人同時開始做的，也可以是有先有后做的；工作的進(jìn)程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水與放水）等等。但是，必須根據(jù)新大綱最多不超過三步計算的限制，在這個限度內(nèi)適當(dāng)有些變化。
三、能夠有條理地說明解題思路
有條理地說明解題思路是要求培養(yǎng)學(xué)生有條有理、有根有據(jù)地說清楚自己是怎么思考的，決不是背誦一個模式，或者是思路說不清楚，顛三倒四，要讓學(xué)生能夠用自己的話表達(dá)清楚。這是培養(yǎng)邏輯思維能力的一個重要方面。
例如，發(fā)電廠有煤２５００噸，用去，還剩多少噸？學(xué)生獨自解答，可能出現(xiàn)以下兩種解法：
①２５００－２５００× ； ②２５００×（１－）
這時，讓學(xué)生說明解題思路，第一種解法必然要說先求用去多少噸，再求剩下多少噸。第二種解法必然要說先求剩下的占總噸數(shù)的幾分之幾，再求這個幾分之幾是多少噸。上述第一種解法接近學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因為在整數(shù)應(yīng)用題已知從總噸數(shù)中減去用掉的，就是剩下的。第二種解法是從問題出發(fā)分析出來的，是一種新的思路，而這種思路在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中常常用到，教師不僅贊賞，還應(yīng)該讓更多的學(xué)生學(xué)會這種思考方法。
此外，與解題思路有關(guān)的是文字題的數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)舉例說明如下：
①甲數(shù)是，乙數(shù)比甲數(shù)大 ，求乙數(shù)。
這里的是甲、乙兩數(shù)相差的數(shù)值，所以，列式為：
②甲數(shù)是，乙數(shù)比甲數(shù)大它的，求乙數(shù)。
這里的是指甲數(shù)的一半，所以，列式為：
或者
×(1+)=
③比噸多，是多少噸？
這里的帶有單位名稱是具體的量，沒有單位名稱，它表示兩個數(shù)的比，所以，列式為：
×（1+）=（噸）
④比噸多噸是多少噸？
列式為：+=（噸）
⑤甲數(shù)是２００，乙數(shù)比甲數(shù)大２０％，求乙數(shù)。
因為百分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)的比，所以，列式為：
２００×（１＋２０％）＝２４０