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“排列、組合”單元的教學(xué)體會(huì)
“排列、組合”單元的教學(xué)體會(huì) 1.調(diào)整教材內(nèi)容順序,加強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)性
智慧技能的教學(xué)是學(xué)校教學(xué)的中心任務(wù).著名認(rèn)知心理學(xué)家加涅認(rèn)為,智慧技能主要涉及概念和規(guī)則的掌握與運(yùn)用,它由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)成一個(gè)階梯式的層級(jí)關(guān)系:概念(需要以辨別為先決條件)→規(guī)則(需要以概念為先決條件)→高級(jí)規(guī)則(需要以規(guī)則為先決條件).因此,對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)單元,學(xué)生應(yīng)該按照加涅關(guān)于智慧技能由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)成的這個(gè)層級(jí)關(guān)系去學(xué)習(xí),以便按照這個(gè)層級(jí)關(guān)系把所學(xué)的知識(shí)組織到大腦當(dāng)中,形成具有良好層級(jí)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
據(jù)此,筆者在“排列、組合”單元的教學(xué)中,將教材內(nèi)容的順序進(jìn)行了調(diào)整.調(diào)整后的結(jié)構(gòu)如圖1所示.排列、組合P概念從飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的概念,進(jìn)而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號(hào)表示.
排
列
、
組
合
概念
從飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的要領(lǐng)進(jìn)而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號(hào)表示.
專題一
算法
在解釋P1n=n,C1n=n(n∈Z+)的基礎(chǔ)上,介紹加法原理和乘法原理(引例和例題的處理均須用由P1n或C1n組成的算式來解答).
專題二
排列數(shù)公式與計(jì)算
專題三
組合數(shù)公式、計(jì)算與性質(zhì)
應(yīng)用
用直譯法解決純排列與組合問題(同時(shí)用分步法解答純排列問題).題型如1990年人教版高中《代數(shù)》下冊(cè)(必修)(簡(jiǎn)稱:高中《代數(shù)》下冊(cè).下同)第234頁例3、第245頁例2.
專題四
用分類法解決加法原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用題.題型如高中《代數(shù)》下冊(cè)第234頁例4(此例還可用分步法)、第245頁例3.
專題五
用分步法、分類法和排除法解綜合性排列與組合問題.題型如高中《代數(shù)》下冊(cè)第235頁例5、第246頁例4.
專題六
圖1
于是該單元的教學(xué)次序是:基本概念的形成(排列與組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的概念)→基本算法規(guī)則的掌握(原理與公式)→概念和算法規(guī)則相結(jié)合的應(yīng)用(這里是以解題規(guī)律為主線,把排列應(yīng)用題和組合應(yīng)用題一并按其解法由易到難分層次集中而對(duì)偶地解決的),完全符合加涅關(guān)于智慧技能的學(xué)習(xí)必須按從概念到規(guī)則,再到高級(jí)規(guī)則的層級(jí)順序去進(jìn)行的規(guī)律,理順了學(xué)生學(xué)習(xí)排列、組合內(nèi)容的認(rèn)知層次,加強(qiáng)了該單元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)性.
2.運(yùn)用先行組織者,促成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性
運(yùn)用先行組織者以改進(jìn)教材的組織與呈現(xiàn)方式,是提高教材可懂度,促進(jìn)學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的理解的重要技術(shù)之一.其目的是從外部影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),促成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.
因?yàn)楦咧猩状蚊鎸?duì)排列、組合單元的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí),其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏適當(dāng)?shù)纳衔挥^念用來同化它們,因此,我們?cè)谠搯卧娜腴T課里,在沒有正式學(xué)習(xí)具體內(nèi)容之前,先呈現(xiàn)如圖2所示的組織者,能起到使學(xué)生獲得一個(gè)用來同化排列、組合內(nèi)容的認(rèn)知框架的作用.
排
列
、
組
合
概念
排列、組合的概念
算法
算法原理、計(jì)算公式
應(yīng)用
解排列、組合問題
圖2
值得一提的是,安排在本文的入門課——專題一中的飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問題,以及安排在基本原理課題中的兩個(gè)引例,它們也分別起到了學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的具體模型組織者的作用.
3.實(shí)行近距離對(duì)比,強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可辨別性
如果排列概念和組合概念在學(xué)生頭腦中的分離程度低,加法原理和乘法原理在學(xué)生頭腦中的可辨別性差,則會(huì)造成學(xué)生對(duì)排列和組合的判定不清,對(duì)加法原理和乘法原理的使用不準(zhǔn),從而嚴(yán)重影響學(xué)生解排列、組合問題的正確性.因此,在教學(xué)中我們必須增強(qiáng)它們?cè)趯W(xué)生頭腦中的可辨別性,以達(dá)到促使學(xué)生形成良好的“排列、組合”認(rèn)知結(jié)構(gòu)之目的.
按調(diào)整后結(jié)構(gòu)的順序教學(xué),很自然地實(shí)行了近距離對(duì)比,加大了排列與組合、加法原理和乘法原理的對(duì)比力度,從而強(qiáng)化了它們?cè)趯W(xué)生頭腦中的可辨別性.
(1)在入門課里,開篇就將排列概念和組合概念進(jìn)行近距離對(duì)比,有利于引導(dǎo)學(xué)生得到并掌握排列和組合的判定標(biāo)準(zhǔn):看實(shí)際效果與元素的順序有無關(guān)系.
(2)專題二首次近距離比較加法原理和乘法原理,并運(yùn)用其判定標(biāo)準(zhǔn)——是分類還是分步,去完成對(duì)實(shí)際問題的處理,以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)它們的理解與辨別.
(3)專題四、五、六里,把排列、組合問題按其解法分層次對(duì)偶地解決,在沒有單獨(dú)占用課時(shí)的情況下,很自然地為排列和組合的近距離比較,為加法原理和乘法原理的運(yùn)用對(duì)比,提供了切實(shí)而盡可能多的機(jī)會(huì).
4.及時(shí)歸納總結(jié),增強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性與概念性
我們知道,認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu),也就是知識(shí)在人們頭腦中的系統(tǒng)組織,它具有整體性和概括性.認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為,認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性越強(qiáng)、概括水平越高,就越有利于學(xué)習(xí)的保持與遷移.因此,在每個(gè)單元的教學(xué)中,我們必須隨著該單元教學(xué)進(jìn)度的推進(jìn),及時(shí)歸納總結(jié)已學(xué)內(nèi)容的規(guī)律,以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)概括水平的不斷提高,最終促使學(xué)生高效高質(zhì)地整體掌握該單元,從而形成整體性強(qiáng)、概括程度高的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
于是對(duì)于“排列、組合”單元,筆者就隨著教學(xué)進(jìn)度的深入,引導(dǎo)學(xué)生不斷歸納、及時(shí)總結(jié)出以下各規(guī)律:
(1)排列與組合的判定標(biāo)準(zhǔn)(見前文).
(2)加、乘兩原理的判定標(biāo)準(zhǔn)(見前文).
(3)排列數(shù)公式的特征(略).
(4)組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系(略).
(5)解排列、組合問題的基本步驟與方法:
①仔細(xì)審清題意,找出符合題意的實(shí)際問題.
所有排列、組合問題,都含有一個(gè)“實(shí)際問題”,找出了這個(gè)實(shí)際問題,就找到了解題的入口.
②逐一分析題設(shè)條件,推求“問題”實(shí)際效果,采取合理處理策略.
處理排列、組合問題的常用策略有:正面入手;正難則反;調(diào)換角度;整、分結(jié)合;建立模型等.但不管采用哪個(gè)策略,我們都必須從問題的實(shí)際效果出發(fā),都必須保證產(chǎn)生相同的實(shí)際效果.因此,實(shí)際問題的實(shí)際效果,就是我們解排列、組合問題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn),因而也可以說是解排列、組合問題的一個(gè)關(guān)鍵.
③根據(jù)問題“實(shí)際效果”和所采取的“處理策略”,確定解題方法.
解排列、組合問題的方法,不同的提法很多,其實(shí)歸根到底,不外乎以下五種:枚舉法;直譯法;分步法;分類法;排除法.如所謂插空法,推究起來也只不過是在調(diào)換角度考慮的策略下的分步法而已.
5.注意策略的教學(xué)與培養(yǎng),增大認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性
智育的目標(biāo)是:第一,通過記憶,獲得語義知識(shí),即關(guān)于世界的事實(shí)性知識(shí),這是較簡(jiǎn)單的認(rèn)知學(xué)習(xí).第二,通過思維,獲得程序性知識(shí),即關(guān)于辦事的方法與步驟的知識(shí),這是較復(fù)雜的認(rèn)知學(xué)習(xí).第三,在上述學(xué)習(xí)的同時(shí),獲得策略知識(shí),即控制自己的學(xué)習(xí)與認(rèn)知過程的知識(shí),學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí),如何思維,這是更高級(jí)的認(rèn)知學(xué)習(xí),也是人類學(xué)習(xí)的根本目的.
所謂策略,指的就是認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)策略,認(rèn)知策略是個(gè)人用以支配自己的心智加工過程的內(nèi)部組織起來的技能,包括控制與調(diào)節(jié)自己的注意、記憶、思維和解決問題中的策略.學(xué)習(xí)策略是“在學(xué)習(xí)過程中用以提高學(xué)習(xí)效率的任何活動(dòng)”,包括記憶術(shù),建立新舊知識(shí)聯(lián)系,建立新知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系,做筆記、摘抄、寫節(jié)段概括語和結(jié)構(gòu)提綱,在書上評(píng)注、畫線、加標(biāo)題等促進(jìn)學(xué)習(xí)的一切活動(dòng).
在中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如果學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏策略或策略的水平不高,那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就不好、學(xué)習(xí)效率就不高,特別是在解題過程中,就會(huì)造成不能利用已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而找不到解題途徑,或造成利用不好已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而使解題思路受阻,或造成不能充分利用好已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而使解題方法不佳,以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結(jié)果不準(zhǔn)確等.因此,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),必須重視策略的教學(xué)和培養(yǎng),讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)和如何思維,以增大學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性.
為此,筆者在“排列、組合”單元的教學(xué)中,除注意一般性學(xué)習(xí)策略(如做筆記、畫線、注記和寫單元結(jié)構(gòu)圖等)的培養(yǎng)以外,更注重解排列、組合問題的培養(yǎng)和訓(xùn)練.
(1)在專題二、四、五、六里,對(duì)排列、組合問題解法的教學(xué),始終按“仔細(xì)審清題意,找出符合題意的實(shí)際問題→逐一分析題設(shè)條件,推求問題實(shí)際效果,采取合理處理策略→根據(jù)問題實(shí)際效果和所采取的處理策略,確定解題方法”的基本步驟進(jìn)行,以培養(yǎng)學(xué)生在解排列、組合問題時(shí),有抓住“實(shí)際問題的實(shí)際效果”這個(gè)關(guān)鍵的策略意識(shí)和策略能力.
(2)重視一題多解和錯(cuò)解分析(多解的習(xí)題要有意講評(píng),例題講解可故意設(shè)錯(cuò)).
一題多解能拓寬解題思路,讓學(xué)生見識(shí)各種解題方法和處理策略.另外,一題多解又能通過比較各種解法的優(yōu)劣,使學(xué)生在較多的思路和方法中優(yōu)選.同時(shí),因?yàn)榻馀帕�、組合問題,其結(jié)果(數(shù)值)往往較大,不便于檢驗(yàn)結(jié)果的正確性,而一題多解可以通過各種解法所得結(jié)果的比較,來檢驗(yàn)我們所作的解答是否合理、是否正確,從而起到檢查、評(píng)價(jià)乃至調(diào)控我們對(duì)排列、組合問題的解答的作用.
錯(cuò)解分析能使學(xué)生注意到解答出錯(cuò)的原因所在,同時(shí)使學(xué)生體驗(yàn)到解題策略調(diào)節(jié)的必要性和方法,防止今后犯類似的錯(cuò)誤,增強(qiáng)學(xué)生解題糾錯(cuò)力.
故意設(shè)錯(cuò)如高中《代數(shù)》下冊(cè)第246頁例4的第(3)小題:如果100件產(chǎn)品中有兩件次品,抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種?
錯(cuò)解:由分步法得C12C299=9702(種).
略析:像該題一樣的“至少”問題最好莫用分步法,這里分步出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算(以上錯(cuò)解是學(xué)生易犯錯(cuò)誤,教學(xué)中必須注意).
參考文獻(xiàn)
1 邵瑞珍主編.學(xué)與教的心理學(xué).上海:華東師范大學(xué)出版社,1990
2 袁賢瓊.優(yōu)化和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.中學(xué)數(shù)學(xué),1991,1
3 陳學(xué)軍.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)策略的教學(xué)與培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1999,4
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