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“尚未成功”的突破
“尚未成功”的突破 坦率說(shuō),在我個(gè)人的解題經(jīng)歷中,“尚未成功”乃至失敗,實(shí)在是比激動(dòng)人心的成功多得多.但是,“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果,而面對(duì)偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”(見(jiàn)文[1]、[2]),我不知道這些說(shuō)來(lái)見(jiàn)笑的個(gè)人體驗(yàn)是否對(duì)廣大讀者有點(diǎn)幫助,但我能肯定地說(shuō),這是我本來(lái)就少得可憐的解題財(cái)富中的主要資產(chǎn),并且我的看法(包括本刊1998年開始的解題分析連載以及《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書)已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴,需要致歉的是,二三年來(lái),關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來(lái)信我不能一一作復(fù),今天的話題很大程度上是一種有意的彌補(bǔ).下面,筆者要進(jìn)行3個(gè)解題個(gè)案的分析,以展示如何由失敗走向成功,又如何對(duì)淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控.
1.個(gè)案1—由失敗中獲取有用的信息
例1 若a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù),且x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x+y+z.
解:由等比定理得
x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)
①
=(x+y+z)/[(a-b)+(b-c)+(c-a)].
②
但是,②式的分母為零
(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,
③
我們的解題努力失敗了.
評(píng)析:這是一個(gè)失敗的解題案例,文[3]談到了調(diào)整解題方向后的一些處理,其實(shí)都用到③式.所以,失敗的過(guò)程恰好顯化了題目的一個(gè)隱含條件,這是一個(gè)積極的收獲,當(dāng)我們將不成功的②式去掉,把目光同時(shí)注視①式與③式時(shí),①式使我們看到了兩條直線重合:
xX+yY+z=0,
④
(a-b)X+(b-c)Y+(c-a)=0.
⑤
而③式又使我們看到了直線⑤通過(guò)點(diǎn)
X=1,
Y=1.
作一步推理,直線④也通過(guò)點(diǎn)(1,1),于是
x+y+z=0.
與文[3]相比,這是一個(gè)不無(wú)新意的解法,其誕生有賴于兩點(diǎn):
第1,從失敗的解題中獲取一條有用的信息,即③式.
第2,對(duì)①式、③式都作“著眼點(diǎn)的轉(zhuǎn)移”,從解析幾何的角度去看它們.
有了這兩步,剩下來(lái)的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成.
2.個(gè)案2—尚未成功不等于失敗
設(shè)f(n)為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列,M為大于f(1)的正常數(shù),當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證不等式
f(n)<M(n∈N)
①
時(shí),其第2步會(huì)出現(xiàn)這樣的情況:假設(shè)f(k)<M,則
f(k+1)=f(k)+a(a=f(k+1)-f(k)>0)<M+a,
②
無(wú)法推出f(k+1)<M.
據(jù)此,許多人建議,用加強(qiáng)命題的辦法來(lái)處理,還有人得出這樣的命題(見(jiàn)文[4]P.32及文[5]P.12):
命題 設(shè){f(n)}為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列,M為正常數(shù),則不等式f(n)<M(n∈N)不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明.
評(píng)析:不等式①?zèng)]能用遞推式②證出來(lái),有兩種可能,其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足,其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng).把“不會(huì)用”當(dāng)作“不能用”,其損失是無(wú)法彌補(bǔ)的.
我們分析上述處理的“尚未成功”,關(guān)鍵在于遞推式②,這促使我們思考:f(k+1)與f(k)之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎?
確實(shí),有的函數(shù)式其f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系很復(fù)雜,無(wú)法用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)直接證明;而有的關(guān)系則較簡(jiǎn)單,僅用加減乘除就可以表達(dá)出來(lái).但無(wú)論是“很復(fù)雜”還是“較簡(jiǎn)單”,其表達(dá)式都未必惟一,文[6]P.278給出過(guò)一個(gè)反例,說(shuō)明上述“命題”不真:
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明
f(n)=1+(1/2)+(1/22)+…+(1/2n-1)<2.
講解:當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.
現(xiàn)假設(shè)f(k)<2,則
f(k+1)=f(k)+(1/2k)<2+(1/2k),
由于2+(1/2k)恒大于2,所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功.
然而,這僅是“方法使用不當(dāng)”.換一種遞推方式,證明并不困難.
f(k+1)=1+(1/2)f(k)<1+(1/2)×2=2.
下面一個(gè)反例直接取自文[4]的例2.
例3 求證(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)<2.
證明:當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.
假設(shè)n=k時(shí)命題成立,則
(1/1!)+(1/2!)+…+(1/k!)+[1/(k+1)!]
=1+(1/2)+(1/3)·(1/2!)+…+(1/k)·[1/(k-1)!]+[1/(k+1)]·(1/k!)<1+(1/2){1+(1/2!)+…+[1/(k-1)!]+(1/k!)}<1+(1/2)×2=2.
這表明n=k+1時(shí)命題成立.
由數(shù)學(xué)歸納法知,不等式已獲證.
3.個(gè)案3—對(duì)尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思
文[7]有很好的立意也有很好的標(biāo)題,叫做“反思通解·引出簡(jiǎn)解·創(chuàng)造巧解”,它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過(guò)程:
例4 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c使不等式
x≤f(x)≤(x2+1)/2
①
對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,說(shuō)明理由.
講解:作者從解兩個(gè)二次不等式
(x2+1)/2-f(x)≥0,
f(x)-x≥0.
開始(解法1),經(jīng)過(guò)數(shù)形結(jié)合的思考(解法2)等過(guò)程,最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”(解法4):由基本不等式
(x2+1)/2≥(x+1)/22≥x
②
對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,猜想
f(x)=(x+1)/22.
③
經(jīng)檢驗(yàn),f(x)滿足條件f(-1)=0,所以f(x)存在,a=(1/4),b=(1/2),c=(1/4).
我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”,按慣例,“若存在,求出a、b、c”應(yīng)該理解為“若存在,求出一切a、b、c”.從這一意義上來(lái)看上述巧解,那就存在一個(gè)明顯的邏輯疑點(diǎn):誠(chéng)然,③式是滿足①的一個(gè)解,但是在x與(x2+1)/2之間的二次函數(shù)很多,如
f1(x)=(1/2)x+(1/2)(x2+1)/2,
f2(x)=(1/3)x+(2/3)(x2+1)/2,
f3(x)=(1/4)x+(3/4)(x2+1)/2,
……
這當(dāng)中有的經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),有的不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),巧解已經(jīng)驗(yàn)證了f1(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)從而為所求,我們的疑問(wèn)是:怎見(jiàn)得其余的無(wú)窮個(gè)二次函數(shù)就都不過(guò)點(diǎn)(-1,0)呢?
也就是說(shuō),“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”,解決了“存在性”而未解決“惟一性”.究其原因,是未找出x與(x2+1/2)之間的所有的二次函數(shù).抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考,我們想到定比分點(diǎn)公式,①式可以改寫為
f(x)={[(x2+1)/2]+λx}/(1+λ)(λ>0),
④
或 f(x)=λ(x2+1)/2+(1-λ)x(0<λ<1). ⑤
一般情況下λ應(yīng)是x的正值函數(shù)(文[8]默認(rèn)λ為常數(shù)是不完善的;同樣,2000年高考理科第20題(2),對(duì)cn=an+bn設(shè)
an=cncos2θ,
bn=cnsin2θ
是錯(cuò)誤的),但由于f(x)為二次函數(shù),λ只能為常數(shù).為了在④中求出λ,把f(-1)=0代入④即可求出λ=1(或⑤中λ=1/2).
②式與④式的不同,反映了特殊與一般之間的區(qū)別,反映了“驗(yàn)證”與“論證”之間的區(qū)別.其實(shí),原[解法1]出來(lái)之后,立即就可以得出②式,與是否應(yīng)用“基本不等式”無(wú)關(guān).同樣,原[解法1]中作者思考過(guò)的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個(gè)問(wèn)題.這種種情況說(shuō)明,我們不僅要對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行反思,而且要對(duì)“反思”進(jìn)行再反思.下面一個(gè)解法請(qǐng)讀者思考錯(cuò)在哪里?
解:已知條件等價(jià)于存在k<0,使
[f(x)-x][f(x)-(x2+1)/2]=k≤0,
把x=-1時(shí),f(x)=0代入得 k=-1,
從而 [f(x)-x][f(x)-(x2+1)/2]=-1,
即 f2(x)-[(x+1)2/2]f(x)+(x3+x+2)/2=0.
由此解出的f(x)為無(wú)理函數(shù),不是二次函數(shù),所以本題無(wú)解.
作為對(duì)反思進(jìn)行再反思的又一新例證,我們指出文[9]例2(即1997年高考難題)第1問(wèn),可以取λ=a(x2-x)∈(0,1)(λ是x的函數(shù)),則
f(x)=a(x1-x)(x2-x)+x
=λx1+(1-λ)x,
據(jù)定比分點(diǎn)的性質(zhì)有x<f(x)<x1.
參 考 文 獻(xiàn)
1 羅增儒.解題分析—解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)?中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998,1~2
2 羅增儒.解題分析—再談自己的解題愚蠢.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998,4
3 羅增儒.解題分析—人人都能做解法的改進(jìn).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998.7
4 李宗奇.調(diào)控函數(shù)及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中),2000,3
5 王俊英.一類數(shù)學(xué)歸納法能否使用問(wèn)題的判定.中學(xué)數(shù)學(xué),1987,9
6 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安:陜西師范大學(xué)出版社,1997,6
7 曹 軍.反思通解·引出簡(jiǎn)解·創(chuàng)造巧解.中學(xué)數(shù)學(xué),2000,6
8 陳雪芬.劉新春.定比分點(diǎn)公式在代數(shù)中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2000,6
9 羅增儒.解題分析——分析解題過(guò)程的兩個(gè)步驟.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998,5
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