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淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【摘要】導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題,不等式問(wèn)題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);應(yīng)用;函數(shù);不等式
【Abstract】The derivative widespread application, solved the function problem for us to provide the powerful tool, might solve in the function most value problem with the derivative, the inequality question, but might also the analytic geometry relate, might in the knowledge network intersection point design question. Therefore, in the teaching, must highlight the derivative the application.
【Keywords】Derivative; Using; Function; Inequality
導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ),是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶,它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題等等的有力工具。本文擬就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。
1以導(dǎo)數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖象問(wèn)題函數(shù)圖象直觀地反映了兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律,由于受作圖的局限性,這種規(guī)律的揭示有時(shí)往往不盡人意. 導(dǎo)數(shù)概念的建立拓展了應(yīng)用圖象解題的空間。
例1:(2007浙江卷)設(shè) 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y= f(x)+f′(x)和的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(D)
例2:(2005江西卷) 已知函數(shù)y= xf′(x)的圖象如右圖所示(其中f′(x))是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中y= f(x)的圖象大致是(C)
分析:由圖象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),又因?yàn)樵?-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞減,故選C。
2以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)單調(diào)性對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究,導(dǎo)數(shù)作為強(qiáng)有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。
例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù), 其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn), 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性. ①求C的值. ②若函數(shù)f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的單調(diào)性, f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)M, 使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b? 若存在, 求出M點(diǎn)的坐標(biāo). 若不存在, 說(shuō)明理由.
分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性.
∴ x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn), 故f′(0)=0. ∴c=0.
②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=
因?yàn)閒(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的單調(diào)性,
∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符號(hào).
故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.
假設(shè)存在點(diǎn)M(x0,y0)使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b,則f′(x0)=3b.
即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.
∴△<0.
故不存在點(diǎn)M(x0,y0)使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b.
3證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的一元不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過(guò)求f(x)的最值,實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問(wèn)題開(kāi)辟了新的路子,使過(guò)去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性、普適性。
例4:(1)求證:當(dāng)a≥1時(shí),不等式對(duì)于n∈R恒成立.
(2)對(duì)于在(0,1)中的任一個(gè)常a ,問(wèn)是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個(gè)x0;否則說(shuō)明理由。
分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時(shí),要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需證: ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0
∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證
(Ⅱ)在時(shí)x≤0時(shí),要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。
只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時(shí)為增函數(shù)
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x) ≤0
∴m(x)在x≤0時(shí)為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證
由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時(shí),恒成立
(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將 變形為ax022+x0+1ex0-1<0 ③
要找一個(gè)x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,
滿足t(x)min<0即可,對(duì)t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex =1a,則x= -lna,取X0= -lna
在0<x<-lna時(shí),t′(x) <0,在x > -lna時(shí),t′(x) >0
t(x)在x=-lna時(shí),取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1
下面只需證明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1時(shí)成立即可
又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,對(duì)p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)
則p′(a) =12(lna) 2≥0,從而p(a)為增函數(shù)
則p(a)<p(1)=0,從而a2(lna) 2-alna+a-1<0得證
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一個(gè)常數(shù)x0=-lna(0<a<1),使得③式成立
最值證明在不等式中的應(yīng)用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)構(gòu)造一個(gè)函數(shù),(函數(shù)的思想方法)然后求這個(gè)函數(shù)的極(最)值,應(yīng)用恒成立關(guān)系就可以證明,對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)踐問(wèn)題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。
4求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問(wèn)題。
例5:已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點(diǎn)P(1,f(1)).
(1)求直線l的方程及a 的值;
(2)當(dāng)k∈R時(shí),討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).
分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切點(diǎn)為P(1,f(1)),即(1,0)
∴l(xiāng)的解析式為y=x-1,
∵l與y=g(x)相切,由y=x-1
y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0
∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12
(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12
∵h(yuǎn)′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,則h′(x) >0,h(x) 為增函數(shù),-1<x<0或x>1時(shí),h′(x) <0,h(x) 為減函數(shù)。
故x=±1時(shí),h(x)取極大值ln2,x=0時(shí),h(x)取極小值12。
因此當(dāng) k∈(ln2,+∞),原方程無(wú)解;當(dāng)k=ln2時(shí),原方程有兩解;當(dāng)12<k<ln2時(shí),原方程有四解;當(dāng)k=12時(shí),原方程有三解;當(dāng)k<12時(shí),原方程有兩解。
5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問(wèn)題的方法是:①根據(jù)求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)。②令導(dǎo)數(shù)等于0,解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。③分區(qū)間討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④判斷極值點(diǎn),求出極值。⑤求出區(qū)間端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較,求出最值。
例6:設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;
分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)
依題意有f′(-1)=0
f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0
12a+4b-a2=0
解得a=6
b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.
(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依題意,x1,x2是方程f′(x)=0的兩個(gè)根,且|x1|+|x2|=22,
∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.
∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴0<a≤6.
設(shè)p(a)=3a2(6-a),則p′(a)=-9a2+36a.
由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.
即:函數(shù)p(a) 在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),
∴當(dāng)a=4時(shí),p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值為46.
導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題,不等式問(wèn)題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
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