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用集成的眼光解數(shù)學(xué)題
用集成的眼光解數(shù)學(xué)題 用集成的眼光解數(shù)學(xué)題
泰州市九龍實(shí)驗(yàn)學(xué)校 許冬梅 (225300)
用"集成"的眼光,把某些式子或圖形看成一個(gè)整體,把握它們之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理,這就是我們通常所說的--整體思想。
與分解,分步處理問題相反,整體思想是將問題看成一個(gè)完整的整體,從大處著眼,由整體入手,突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造,把一些彼此孤立實(shí)際上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮.在整體思想中,往往能夠找到問題的捷徑.
例題選講
例 1 .( 2006太原)已知實(shí)數(shù) a、b 滿足( a +b ) 2 = 1 ,(a-b) 2 = 1. 求a 2 +b 2 +ab的值 .
解: 由已知,得( a +b ) 2 +(a-b) 2=2(a 2 +b 2)=2,
( a +b ) 2 ﹣(a-b) 2=4ab=0
解得a 2 +b 2=1, ab=0
∴ a 2 +b 2 +ab= 1.
點(diǎn)評(píng):本題是初中中考的常見題,從問題的本質(zhì)入手,把握各部分的聯(lián)系,利用完全公式之間的關(guān)系,輕松地得到問題的答案。對(duì)部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣也是很好的提高。
例2、已知 ,求 的值.
分析:若將問題中的x看成一個(gè)未知數(shù),將其求出,然后代入后式中求值,顯然計(jì)算復(fù)雜繁瑣,計(jì)算量偏大,但將 看成一個(gè)整體,通過通分得到 ,繼而看
作整體,求其倒數(shù)得到 ,對(duì)比聯(lián)想容易找到解決問題
的思路.
解:因?yàn)?nbsp; , 則
所以 ,則 , 所以 ,
將 代入 = =2000.
點(diǎn)評(píng):本題若不運(yùn)用整體的思想方法解題,則計(jì)算復(fù)雜繁瑣,而整體思想的運(yùn)用,化難為易,整體思想是一種技巧,也是一種重要的思想方法.
對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題,不是從局部著手,而是從大處著眼,從整體入手,會(huì)捷足先登,使計(jì)算過程大大簡化.
求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積,要設(shè)法找出它與規(guī)則圖形面積的關(guān)系,化不規(guī)則為規(guī)則,化零為整,下面我們來看看整體思想在幾何領(lǐng)域的應(yīng)用:
例4 求下圖中陰影部分的面積(單位:cm)。
分析與解:本題可以采用一般方法,也就是分別計(jì)算兩塊陰影部分面積,再加起來,但不如整體考慮好。我們可以運(yùn)用翻折的方法,將左上角一塊陰影部分(弓形)翻折到半圓的右上角(以下圖中虛線為折痕),把兩塊陰影部分合在一起,組成一個(gè)梯形(如下圖所示),這樣計(jì)算就很容易。
說明:當(dāng)某些圖形的面積不易直接計(jì)算時(shí),可以把這個(gè)圖形的各個(gè)部分適當(dāng)拼接成一個(gè)易于直接計(jì)算的圖形。也就是說,可以化零為整。上述解法運(yùn)用翻折(或旋轉(zhuǎn))的方法達(dá)到了化零為整的目的。
從問題的整體性質(zhì)出發(fā),突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造,發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,善于用"集成"的眼光,把某些式子或圖形看成一個(gè)整體,把握它們之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用,整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。
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