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反比例函數基礎知識的應用
反比例函數基礎知識的應用 立足基礎 舉一反三 ——談反比例函數基礎知識的應用 江蘇省泰州市九龍實驗學校 陳建（225300） 一、反比例函數的基礎知識 1．一般地，形如y=(k為常數,k≠0)的函數稱為反比例函數,其中x是自變量,y是函數,k是比例系數. 2.函數的解析式的特征:①等號左邊是函數y,等號右邊是一個分式,分子是常數k,分母中含有自變量x,且x的指數是1.②自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數.③比例系數“k≠0”是反比例函數定義的一個重要組成部分.④函數y的取值范圍也是一切非0的實數. 3.反比例函數的幾種等價形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0) 4.用待定系數法，求反比例函數的解析式：反比例函數 （且k為常數）中，只有一個待定系數，因此只需一對對應值就可求出k的值，從而確定其解析式. 5.反比例函數y=( k為常數,k≠0)圖象是雙曲線.(既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形) 6.反比例函數圖象的性質：當k>0時,雙曲線位于第一,三象限,在每個象限內,曲線從左向右下降,因而y隨x的增大而減小;當k<0時,雙曲線位于第二,四象限,在每個象限內,曲線從左向右上升,因而y隨x的增大而增大.雙曲線與x軸,y軸都沒有交點,而是越來越接近x軸,y軸. 7.比例系數k的幾何意義:反比例函數中比例系數k的幾何意義,如果過雙曲線上任意一點引x軸,y軸垂線,與兩坐標軸圍成的矩形面積為|k|. 二、反比例函數基礎知識的應用 例1． 已知 是反比例函數 （1） 求它的解析式. （2） 求自變量 的取值范圍，在每個象限內， 隨 的增大而怎樣變化？ （3） 它的圖象位于哪個象限？ 分析： （k≠0）叫反比例函數，也可以寫成 ，因此，它的特點是（1）k≠0，（2）x的指數為-1. 解：（1）由題意得 ， ，解析式為 （2）自變量 的取值范圍是 . （3）由于 ，它的圖象位于二、四象限；在每個象限內， 隨 的增大而增大. O A
O O B
O O C
O O D
O 例2、在同一坐標系中，函數 和 的圖像大致是 （ ）
分析：本題是考查含有字母系數的幾個函數在同一坐標系中的圖象，分 和 兩種情況進行討論，選A. 例3、如右圖，在 的圖象上有兩點A、C， 過這兩點分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點， 連結OA、OC，記△ABO、△CDO的面積為 ， 則 與 的大小關系是( ) A. B. C. D.不確定 分析：由基礎知識7知 ，故選C. 例4．已知反比例函數 的圖像上有兩點A( ， )，B( ， )， 且 ，則 的值是（ ） A、正數 B、負數 C、非正數 D、不能確定 分析：由 可分為 ，易得 ，故選D.特別要注意反比例函數的增減性是對每一支曲線而言. 例5．如圖是三個反比例函數 ， ， 在x軸上方的圖象，由此觀察得到 、 、 的大小關系為（ ）
A、 B、 C、 D、 分析：根據圖象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故選B. 例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC邊上與B點不重合的任意點，PA=x，D點到PA的距離為y，求y與x之間的函數關系式，并畫出函數的圖像以及自變量x的取值范圍. D B A E C P 解：如圖，由題意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，∴⊿DEA∽⊿ABP，∴
即 (2) ∵P在BC上,與B不重合,可以與C重合 , . (3)由于函數自變量的取值范圍是3<x≤5，所以y對應的取值范圍是 ，因此圖像只是一段曲線 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(圖略) 例7.已知一個函數具有以下條件：（1）該圖象經過第四象限；（2）當 時， y隨x的增大而增大；（3）該函數圖象不經過原點.請寫出一個符合上述條件的函數關系式： . 分析:這是一道開放題,必須非常熟悉函數的圖象和性質,才能解決問題.符合上述條件的函數關系式為 . 例8、某自來水公司計劃新建一個容積為40000 的長方形蓄水池. （1）蓄水池的底面積S（ ）與其深度h（m）有怎樣的函數關系？ （2）如果蓄水池的深度設計為5m，那么蓄水池的底面積應為多少平方米？ （3）由于綠化以及輔助用地的需要，經過實地測量，蓄水池的長和寬最多能分別設計為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達到多少才能滿足要求？（保留兩位小數） 分析：這是一道反比例函數在生活實際中應用的問題，通過長方體體積公式v＝sh的變式來解決問題(1)，得到 與 進行類比，得到是反比例函數關系；問題（2）和問題（3）則都是知道關系式中一個變量求另外一個變量，只需代入關系式計算出所求值即可，引導學生明白解決問題一定依靠函數關系式進行. 以上我們通過例題分析了反比例函數基礎知識在不同類型題目中的應用，我們在以后的學習中一定要打好基礎、學會舉一反三。
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