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數(shù)學(xué)課堂如何落實(shí)創(chuàng)新教育
數(shù)學(xué)課堂如何落實(shí)創(chuàng)新教育 在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代,知識(shí)的加速發(fā)展是不可否認(rèn)的事實(shí),而對(duì)一個(gè)高節(jié)奏,高科技,高風(fēng)險(xiǎn),高競(jìng)爭(zhēng),高壓力的21世紀(jì),教育只有進(jìn)行改革和創(chuàng)新才能適應(yīng)這一形勢(shì)。而創(chuàng)新能力不僅是一個(gè)民族,一個(gè)社會(huì)富有生機(jī)與活力的前提條件,也是一個(gè)民族,一個(gè)社會(huì)文明發(fā)展水準(zhǔn)的標(biāo)志,是一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要組成部分。江澤民總書(shū)記對(duì)于創(chuàng)新做了最精辟的論述:“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂,是國(guó)家興旺發(fā)展的不竭動(dòng)力�！睘榱诉m應(yīng)這一形勢(shì),教育在面向受教育者傳授一定的基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),還要注意從創(chuàng)新角度出發(fā),培養(yǎng)學(xué)生的智能,使他們能夠有效地駕馭并靈活運(yùn)用知識(shí),即實(shí)行“智能教育”,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。而數(shù)學(xué)科要結(jié)合本學(xué)科的特點(diǎn),著重利用數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生,發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中,讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)動(dòng)變化,分析與綜合,歸納與演繹,比較與類比,具體與抽象,一般化與特殊化,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法,把學(xué)生的思維能力提高到一個(gè)新的高度,讓學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法,學(xué)會(huì)運(yùn)用基本的思維技巧,努力去獲取成功。下面就如何實(shí)施談一下自己的做法:
(一) 利用數(shù)學(xué)的多角度,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維
由于發(fā)散思維具有多端性,變通性,獨(dú)特性的特點(diǎn),即思考問(wèn)題時(shí)注重多途徑,多方案;解決問(wèn)題時(shí)注重舉一反三,觸類旁通。這與數(shù)學(xué)知識(shí)的思維特征極為相似,所以要充分利用數(shù)學(xué)教學(xué),正確培養(yǎng)和拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力,對(duì)造就創(chuàng)新型人才至關(guān)重要。
[例]:a、b、c ,求證: ≥
這是一道不等式證明題,學(xué)生從a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)出發(fā),行不通�？梢詮囊韵聨追矫嬉龑�(dǎo)學(xué)生:
① ≥0 ≥2ab ≥ ≥ (a+b);②因?yàn)?是復(fù)數(shù)a+b (a、b )的模,
則 ≥ =
從而得證。
③也可以從 是兩直角邊分別為a、b的
直角三角形的斜邊出發(fā),看成是右邊三個(gè)三
角形三條斜邊之和大于或等于 的長(zhǎng)度。
可見(jiàn),利用數(shù)學(xué)題目從一個(gè)已知信息出發(fā),通過(guò)分解組合,引伸推導(dǎo),想象,類比,從不同方向進(jìn)行思考,得出多種思路,想出多種可能,它的思維目標(biāo)是多側(cè)面的,多角度的,多方位的。
(二) 利用數(shù)學(xué)的目標(biāo)性,培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維。
聚合思維又稱求同思維,是從不同來(lái)源、不同材料,不同方向探求一個(gè)正確答案的思維過(guò)程和方法。思維方向集中于同一個(gè)相同的目標(biāo)去思考。
[例]:求證恒等式(sinφ+tgφ)(cosφ+ctgφ)=(1+sinφ)﹙1+cosΦ﹚。
由于是恒等式證明,主要是證明兩邊相等。學(xué)生基本上是采用從左到右;左右相減;兩邊去括號(hào),證相等。但由于考慮到右邊也是兩個(gè)括號(hào),左邊也是兩個(gè)括號(hào),可以采用從左邊兩個(gè)括號(hào)中分別提取tgφ,ctgφ而得到證明。目標(biāo)性很明確。
[例]:求證△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+B+C=180゜.
它主要是利用平行線性質(zhì),來(lái)構(gòu)造一個(gè)平角。由于聚合過(guò)程采用不同的方向,輔助線有以下幾種不同的添加法。
當(dāng)然,作為聚合思維,它能把散在千里之外的輻射性思維牽引回來(lái),向著某一思維目標(biāo)發(fā)起思維攻勢(shì),這種攻勢(shì)是多側(cè)面的,多方位的,多層次的,它在時(shí)間上既是多路同時(shí)匯集,又是連續(xù)不斷的;在空間上是立體型的,火力網(wǎng)狀式的,通過(guò)去粗存精,去偽存真,而使思考慢慢縮小,逐步清晰,本質(zhì)漸漸顯露,最后探求出事物的原因或結(jié)果。
(三) 利用數(shù)學(xué)中的演繹關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理法,回溯思維法,逆向思維法。
演繹推理法是從普遍性(或稱一般性)的前提推出特殊性(或稱個(gè)別性)的結(jié)論的思維方法。這種思維方法的前提和結(jié)論之間是必然性的聯(lián)系,是一種必然無(wú)誤的斷定。數(shù)學(xué)課本的體系都是采用演繹推理的。
回溯思維法又稱溯源推理法,有廣義和狹義兩種理解。廣義是根據(jù)事物發(fā)展過(guò)程所造成的結(jié)果,推斷形成結(jié)果的一系列原因的整個(gè)邏輯思維過(guò)程;而狹義的則是指從事物的結(jié)果推斷其原因的一種思維方法。簡(jiǎn)單地說(shuō),回溯思維法就是從事物的“果”回過(guò)來(lái)推測(cè)其“因”。
數(shù)學(xué)教學(xué)中,這兩種思維是經(jīng)常一起交叉使用的,比如平幾、立幾、解幾中的證明題,其證明、分析過(guò)程一般都使用以上兩種方法,充要條件的教學(xué)過(guò)程更是這兩種方法集中使用的體現(xiàn)。
逆向思維法是為了實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造過(guò)程中的某項(xiàng)目標(biāo),以背逆常規(guī)現(xiàn)象或解決問(wèn)題的方法為前提,通過(guò)逆向思考來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的方法。
對(duì)于數(shù)學(xué)中的選擇題,有很多題目如能采用逆向思維,會(huì)使學(xué)生體會(huì)到科學(xué)思維的威力。
[例]:設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+|z|=2+i,則z等于( )
(A) (B) (C) (D)
2、定義在(-∞,+∞)的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和,如果f(x)= lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( )
(A) g(x)=x,h(x)=lg
(B) g(x)= ,h(x)= lg
(C) g(x)= ,h(x)=
(D) g(x)= ,h(x)= lg
有數(shù)不盡的選擇題都可以象上面兩道題不是直接從已知條件出發(fā),而是從選擇支出發(fā)去探求滿足題意的捷徑。
當(dāng)然,在解析幾何題中,也出現(xiàn)不少類似題。
如設(shè)雙曲線 =1的一個(gè)頂點(diǎn)A,P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),從A點(diǎn)引兩漸近線的平行線交直線OP(O為原點(diǎn))分別于Q,R兩點(diǎn),求證:|OP|2=|OQ|·|OR|。
[從分析目標(biāo)可知,先證:xp2=xQ·xR]。
(四)利用數(shù)學(xué)的指向性,培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)思維法。
目標(biāo)思維是這樣一種方法,首先確立要達(dá)到的目標(biāo),然后堅(jiān)定不移地一步一步地去實(shí)現(xiàn)目標(biāo),不達(dá)目的決不罷休。做各項(xiàng)工作都離不開(kāi)一定的目標(biāo),只是人們干工作,做事情時(shí),有的目標(biāo)明確,有的不明確,有的很模糊,實(shí)踐證明:目標(biāo)的明確度與工作的有效性往往是成正比例的。
在立幾《多面體與旋轉(zhuǎn)體》中,有關(guān)多面體與旋轉(zhuǎn)體中的側(cè)面積,體積等的證明過(guò)程都是采用目標(biāo)思維法,解析幾何中曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式等也都采用目標(biāo)思維法。由于數(shù)學(xué)問(wèn)題是建立在要“解決”的情景之下的,可以說(shuō)數(shù)學(xué)的發(fā)展都是在目標(biāo)思維法的推動(dòng)下而實(shí)現(xiàn)的。
(五)利用數(shù)學(xué)條件的可容性,培養(yǎng)學(xué)生的組合思維法與置換思維法。
這里的組合主要有以下兩個(gè)含義:(1)指兩個(gè)或兩個(gè)以上各自獨(dú)立元素的結(jié)合。(2)指數(shù)學(xué)中把m個(gè)不同元素中取出n個(gè)組成一組稱為一個(gè)“組合”。組合思維法就是用這兩種方法將不同元素組合起來(lái)的一種思維方法。組合思維法有發(fā)散性(求異性),選擇性、綜合性等三個(gè)特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)這種組合思維。例
1:已知f(x)是(-1,1)上的偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù),求滿足f(a-2)-f(4-a2)<0的實(shí)數(shù)a的取值范圍。
[定義域,偶函數(shù),解絕對(duì)值不等式,函數(shù)單調(diào)性的組合]
2:設(shè)方程log3x+x-3=0的根為x1,方程3x+x-3=0的根為x2,求x1+x2的值。
[y= log3x,y= 3x,y=3-x的圖象,互為反函數(shù)間的關(guān)系,對(duì)稱性的組合]。
3:如圖,圓柱的軸截面ABCD是正方形,點(diǎn)E在底面圓周上,AF⊥DE,F是垂足。
(1)求證:AF⊥DB;
(2)如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比
等于3 ,求直線DE與平面ABCD所成
的角。
[圓柱與三棱錐組合在一起的題型]。
4:橢圓 =1( a>b>0)的焦距為6,兩焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸三等分,求橢圓方程。
[長(zhǎng)軸,焦距,a、b、c的組合]
當(dāng)然,立幾中接切,組合體都是組合思維的例證。解幾中對(duì)曲線的方程基本上是a、b、c、e、p,準(zhǔn)線等幾個(gè)元素中任取兩個(gè)的組合。
當(dāng)然,組合思維法重在“合”,因而要對(duì)組合對(duì)象進(jìn)行深入分析,把握它們個(gè)性特點(diǎn),再?gòu)倪@些特點(diǎn)中概括出規(guī)律,綜合形成設(shè)計(jì)方案。
置換思維法是將幾個(gè)不同元素從一種排列變成另一種排列而變成新的組合思維的方法。或者是用別的元素替換某個(gè)元素,使之變成新的組合的思維方法。
數(shù)學(xué)中置換思維方法的例子也是隨處可見(jiàn)。組合思維中的元素通常也可以用置換思維法去理解。又如,下面題組:
證明:(1)ctg2α(tg2α-sin2α)=sin2α
(2)
(3)sin4α-cos4α= sin2α-cos2α
上面各題中正弦換余弦,正切換余切;余弦換正弦,余切換正切,命題一樣成立。
[例]把4本不同的書(shū)全部分給3個(gè)學(xué)生,每人至少一本,分法種數(shù)為多少?
可把書(shū),學(xué)生置換成信、郵筒;司機(jī)、汽車(chē);房子、住戶;……
置換思維法與組合思維法可以說(shuō)是孿生兄弟。組合思維法是用組合的方法去思考,而置換思維法是用排列的方法去思考。
學(xué)生學(xué)會(huì)了這些方法,可以對(duì)題目進(jìn)行改造,由于沒(méi)有固定的置換思考角度和方向,要求思維者的思維有較大的獨(dú)立性、靈活性,從而不墨守成規(guī)。這兩種方法也是創(chuàng)新能力的必需要求。
總之,當(dāng)人類的步伐邁入二十一世紀(jì)時(shí),我們的教育更應(yīng)注重于以人為本,把人的大腦潛能充分調(diào)動(dòng)起來(lái),提高人類正確運(yùn)用科學(xué)思維,提高解決問(wèn)題的能力,努力關(guān)注人的生命質(zhì)量的提升,關(guān)注學(xué)生獲取終身學(xué)習(xí)的能力,關(guān)注創(chuàng)新性思維的必需。
參考文獻(xiàn):
(1)《思維技巧趣談》 氣象出版社 1989年12月
(2)《創(chuàng)新論》 中國(guó)盲文出版社 1999年 9月
(3)肖川 “什么是良好的教育”
(4)《奇妙的類比》 中國(guó)文史出版社 1990年10月
(5)《孫維剛導(dǎo)學(xué)高中數(shù)學(xué)》 教育科學(xué)出版社 1999年5月
(5)《孫維剛導(dǎo)學(xué)初中數(shù)學(xué)》 教育科學(xué)出版社 1999年5月
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