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“算經十書”的數(shù)學思想精粹
“算經十書”的數(shù)學思想精粹 在世界科學史中,中國傳統(tǒng)數(shù)學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統(tǒng)數(shù)學中,“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”,指的是中國十部古算書:《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》(元豐年間已失傳,后來以《數(shù)術記遺》代之)、《緝古算經》。唐代時期,國子監(jiān)內設算學館,置有博士、助教,指導學生學習數(shù)學,規(guī)定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋,作增補刪改,歷代華夏子孫學習它,研究它,中國數(shù)學也因它而形成自身的傳統(tǒng)并將此傳統(tǒng)繼承和發(fā)揚�！八憬浭畷本推鋬热輥碚f,屬于初等數(shù)學;就其數(shù)學思想和數(shù)學方法來說,則是十分高深的。下面,我們闡述其數(shù)學思想。
1. 探索和追求精益求精的計算方法和技巧
就數(shù)學內容而言,“算經十書”以善于計算而見長,并且這一長足的發(fā)展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步,這已是中外中算史家的共識�！八憬浭畷蹦苋绱溯x煌耀目,是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。
“算經十書”中最早的一種《周髀算經》,其第一章敘述了西周開國時期(約公元前1100年)周公與商高的一段問答。從這段問答中,我們可以見到我國早期數(shù)學思想的一些初步端倪。當周公問商高“夫天不可階而升,地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出?”時,商高答道:“數(shù)之法出于圓方,圓出于方,方出于矩。矩出于九九八十一。”接著,商高還說:“故折矩以為句廣三,股修四,徑隅五。既方其外,半之一矩,環(huán)而共盤,得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者,此數(shù)之所由生也�！边@里,我們可以清新地見到,我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時,已經看到了數(shù)學的重要性(如大禹、周公);而掌握到一些數(shù)學知識的人(如高商),是注意數(shù)學思想和數(shù)學方法的。比如,我們從上述商高答問中,就可以看到,古人理解“數(shù)之所由生”,是將形與量結合起來考察的。圓和方都是形,而形是有數(shù)量關系的,從考察形可以探討到“數(shù)之法”,但這形中又包含著豐富的數(shù)量關系,特別是平方關系(九九八十一)。數(shù)之法是從圓形和方形開始的。圓是內接正多邊形經過無數(shù)次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限(我國最早的極限思想,是不是來自于這種“圓出于方”的觀念,希望讀者引起注意)。矩是木匠用的曲尺,形如L,方中的直角,非矩不能作,所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數(shù)相乘,也就是說,要算出來。我國古代算法好憑口訣,而乘法口訣是從“九九八十一”起的,古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱,故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數(shù)的性質來研究形的性質的思想,與古希臘的數(shù)學思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理:a2+b2=c2 。而當a=b=1時,則
c= ,這 既不是自然數(shù),也不是自然數(shù)之比,所以不能是可接受的正常的數(shù),被稱為無理數(shù),導致了第一次數(shù)學危機,從此古希臘數(shù)學發(fā)展的方向產生了大改變,“幾何化”占了主導地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理(也稱勾股弦定理、商高定理),是從“折矩”而來然后得“積矩”的,3,4,5及其平方的關系可以體現(xiàn)出勾股定理,但中國并沒有由此而產生數(shù)學危機,也沒有發(fā)生發(fā)展方向的大改變,反而為“幾何代數(shù)化”[2]這個中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展主導方向奠定了很好的基礎。中國早期講究以算的方法去解決實際數(shù)學問題,是“數(shù)之所由生”的重要思想。
在古代,不管是西方國家或中國,數(shù)學的發(fā)展都跟勾股定理結下不解之緣,這不是偶然的歷史巧合,而是不同淵源和發(fā)展脈絡的科學認識的一種必然交匯,其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數(shù)學研究活動,很自然地會碰到考察形的性質及數(shù)量關系,直角三角形成為關注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的,早期先人們(如大禹)能掌握有關的數(shù)學知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導致數(shù)學發(fā)展的不同朝向,至少在初等數(shù)學領域內是存在的。古希臘在數(shù)、形簡單和諧的觀念被打破之后發(fā)生大轉向,從重算發(fā)展到重證,發(fā)展到重視幾何證明,往后的趨勢就是有了這種發(fā)展趨勢和成果的集大成標志——歐氏幾何的產生,它是西方國家初等數(shù)學體系確立的標志,而中國此時并不發(fā)生方向的大改變,而是沿著算的道路繼續(xù)前進,往廣度和深度上延伸發(fā)展,導致的是中國傳統(tǒng)數(shù)學體系的形成——《九章算術》的出現(xiàn)。《九章算術》中有許多具有世界意義的成就,如負數(shù)計算、分數(shù)計算、聯(lián)立一次方程解法等,正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結果。可貴的是,我們的祖先在此數(shù)學思想的指導之下,并不以原有的結果為滿足,沒有停留在原有的水平上裹足不進,而是精益求精地深入下去。如《九章算術》246道題,有解題方法202“術”,在當時有如此輝煌成績已難能可貴,但三國魏晉時期的劉徽,就在《九章算術》的基礎上,仔細作注,不但為《九章》提供了系統(tǒng)的理論依據,而且大力向前推進,提出了許多創(chuàng)見,將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數(shù)學思想,提到一個更高的水平,并對后世的發(fā)展帶來了深刻的實際影響,如他發(fā)現(xiàn)的割圓術,為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎,唐李淳風注《九章算術》時說:“劉徽特以為疏,遂乃改張其率,但周徑相乘數(shù)難契合。
祖沖之以其不精,就中更推其數(shù)�！眲⒒毡救烁嬲]人們他所得到的“徽率”太小,后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續(xù)前進,將π值愈推愈精確。在求積問題上,劉徽也有突破,他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論,之后,祖暅在劉徽研究的基礎上,精益求精,得到了聞名于世的“祖暅定理”,并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪,一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧,正是在一條清晰的傳統(tǒng)思維途徑――探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如《張丘建算經》自序中這樣寫道:“其夏侯陽之方倉,孫子之蕩杯,此等之術皆未得其妙。故更造新術推盡其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一層樓,就是《張丘建算經》的數(shù)學指導思想,正是在此思想的指導之下,出現(xiàn)了舉世聞名的“百雞問題”。
2.講究明確的思想依據
數(shù)學思想研究的是數(shù)學產生和發(fā)展的思想方法和思想依據�！八憬浭畷辈粌H在數(shù)學知識上光彩耀目,在數(shù)學思想上也獨樹一幟,其顯著的特點是對于作為每項有意義的數(shù)學成果,都講究其明確的思想依據。
劉徽精細地注釋了《九章算術》,從而確立了中國傳統(tǒng)數(shù)學理論體系。劉徽的數(shù)學思想和方法,對后世影響極深。如王孝通在《上緝古算經表》中云:“徽思極毫芒,觸類增長�！闭f劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數(shù)學,是十分講究明確的思想依據的。“算經十書”中有二部與他密切相關�！毒耪滤阈g》由于有了劉徽注,從此中國傳統(tǒng)數(shù)學有了自己的理論體系;他在注《九章算術》時補撰“重差”,其單行本即《海島算經》。劉徽注《九章算術》時,十分講究數(shù)理之道要有明確的思想依據。在《九章算術》注原序中,劉徽說:“徽幼習《九章》,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術之根源,探賾之暇,遂悟其意。是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注。事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本干者,知發(fā)其一端而已。又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣�！痹凇皥A田術”注中,劉徽寫道:“不有明據,辯之斯難”,于是,他在創(chuàng)造“割圓術”的同時,還告訴人們此種創(chuàng)造是有依據的:“謹接圖驗,更造密率�？挚赵O法,數(shù)昧而難譬。故置諸檢括,謹詳其記注焉�！痹凇伴_立圓”(由球的體積以開立方的方法求其直徑)注中,劉徽創(chuàng)立了“牟合方蓋”理論,他不僅介紹了有關方法,而且還言明思想依據,“互相通補,……觀立方之內,盒蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。”但他又擔心依據不足,惟恐理法相違,專門作了交待,以待后人獲得更嚴密的依據:“欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數(shù)理的思想依據的重視,也深深領悟到他們治學嚴謹?shù)母呱酗L范。在談到將割圓術作為解決有關極限問題的工具時,劉徽也闡述了其思想依據:“數(shù)而求窮之者,謂以情推,不用算籌”(“陽馬術”注)。意思是說,數(shù)學中凡解決有關無窮之類問題時,不必用算籌去計算,應當用數(shù)學思想去把握。再拿《海島算經》來說,劉徽為什么要寫《海島算經》呢?其思想依據是什么?在《九章算術》劉徽注原序中,劉徽清楚的說明“蒼等為術猶未足以博盡群數(shù)也”,于是“輒造重差,并為注解,以究古人之意,綴于句股之下”,“以闡世術之美”。而造“重差”此術的思路是:要測量不可到達目的物的高和遠時,一次測望不夠,于是采用二次測望、三次測望、四次測望,即“度高者重表,測深者累矩”(“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次)、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是,劉徽并不是勉強、被動地去考究數(shù)學知識之思想依據的,他認為數(shù)學思想與 “算經十書”的數(shù)學思想精粹數(shù)學知識之間本身具有非常緊密的聯(lián)系,他用庖丁解牛來闡述此層道理:“更有異術者,庖丁解牛,游刃理間,故能歷久其刃如新。夫數(shù)猶刃也,易簡用之則動中庖丁之理,故能和神愛刃,速而寡尤”(《九章算術》方程術注)。
自劉徽之后,“算經十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據,如四庫總目 提要中稱:《張丘建算經》之體例,皆設為問答,以參校而中明之,簡奧古質,與近求不同,而條理精密,實能深究古人之意。正因為此書注意講究數(shù)學的思想依據,因而對掌握數(shù)學知識的來龍去脈很有益處,“故唐代頒之算學,以為專業(yè)”。就是在我國近年的中學數(shù)學課本中,還列有《張丘建算經》的題目。
此外,“算經十書”中關于數(shù)學證明的部分,也講究要有明確的思想依據。[3]
3.著力于靈活和廣泛的應用
中國傳統(tǒng)數(shù)學十分著力于靈活和廣泛的應用。拿“算經十書”最早的一部《周髀算經》來說,東漢末至三國時代的吳國人趙爽曾對《周髀算經》逐段進行詳細的注釋。在趙爽注釋中有這樣寫道:“禹治洪水,決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊之厄,使東注于海而無侵逆,乃句股之所由生也�！庇謸妒酚�?夏本紀》記載,大禹治水時,“陸行乘車,水行乘舟,泥行乘撬,山行乘攆,左準繩,右規(guī)矩�！壁w爽的注釋和《史記》的記載(山東五梁祠畫像石中有幅大禹治水圖)都說明了我國早期注意從實踐中提煉數(shù)學知識并將掌握的數(shù)學知識應用到實踐中去�！吨荀滤憬洝分杏涊d的“平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠。環(huán)矩以為圓,合矩以為方”都充分體現(xiàn)了將數(shù)學知識(包括數(shù)學器具)著力于在實踐中應用的思想。我國是一個農業(yè)古國,田地面積的量法極需要數(shù)學為它提供手段,儲囤糧食、建筑城墻、開溝挖渠等都需要有計算體積的方法,如求方田、廣田、圭田……的面積,求城、……的體積,都十分需要有一定的數(shù)學工具為人們提供解決問題的手段。我國古代很早就推行按畝收稅、兩稅法的賦稅制度,兌換、分配的需要以及工商業(yè)的發(fā)展,促進和加強了將數(shù)學知識應用于實踐。再從中國封建統(tǒng)治者來看,他們也極需要精確地計算田畝面積,合理安排賦稅,來發(fā)展封建社會的經濟,鞏固封建王朝的統(tǒng)治。特別是天文歷法,它對于歷代統(tǒng)治者來說,都是至關重要的,似乎它就是封建王朝統(tǒng)治者興衰的象征。封建統(tǒng)治者需要頒布歷法,歷法的制定又離不開數(shù)學。因此,在古代中國,不管是“民間”或“官方”,都要求數(shù)學研究與實踐經驗相結合�！吨荀滤憬洝分荚陉U明宇宙結構學說“蓋天說”;《九章算術》九個章都與實踐緊密相關;《海島算經》用以解決測量推算遠處目的物的高、深、廣、遠問題;《孫子算經》所選的大部分都是解決實際情況的應用題;《夏侯陽算經》引用當時流傳的乘除捷法,為的是要解決日常生活中的應用問題;《張丘建算經》上、中、下三卷,大部分都是涉及到解決測望、方圓冪積、商功、均輸、方田等現(xiàn)實的實際問題;《五曹算經》分別敘述計算各種形狀的田畝面積、軍隊給養(yǎng)、粟米互換、租稅、倉儲容積、戶調的絲帛和物品交易,即所謂的田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等五曹的應用問題;《五經算術》則是力圖將古代經籍的注釋中有關數(shù)字計算的知識與歷法、樂律的研究結合起來,另有旨趣;《數(shù)術記遺》中載有運用數(shù)學知識解決實際問題的數(shù)學器械,如積算、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)等。這些,非常雄辯、實在地體現(xiàn)了我國傳統(tǒng)數(shù)學思想的鮮明特色。
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