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數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分重視“定理教學(xué)”
數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分重視“定理教學(xué)” 教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的,尤其在農(nóng)村中學(xué),有時(shí)由于教學(xué)上的需要,往往到了初三,也會(huì)出現(xiàn)面對陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬:幾何證明題學(xué)生會(huì)證的,卻不會(huì)書寫或書寫不完整;知道步驟的原因和結(jié)論,但講不出定理的內(nèi)容;更多的學(xué)生面對幾何題在證明時(shí)憑感覺。面對著時(shí)間緊、任務(wù)重,怎么辦呢?經(jīng)過一番苦思冥想,針對學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄,決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時(shí)間的復(fù)習(xí),學(xué)生普遍反映在證題和書寫時(shí)有了“依靠”,也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值,基本樹立了“用定理”的意識。
那么,學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻,產(chǎn)生解題的困惑呢?我們把它歸納為以下幾點(diǎn):
⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解,發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密,就因?yàn)槿狈Χɡ肀匾睦斫?不會(huì)用符號語言表達(dá),從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理,造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。
⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件,或者在幾何圖形中找不出定理所對應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系,思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解,圖形稍作改變(或不是標(biāo)準(zhǔn)形),學(xué)生就難以思考。
⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。
針對以上的原因,我們在教學(xué)中采取了一些自救對策。
一、教學(xué)環(huán)節(jié)
對幾何定理的教學(xué),我們在集中講授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2 環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求;第3 環(huán)節(jié)是基本推理模式,第4 環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式,提出了“模式+定理”的書寫方法;第5 環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用,提出了“圖形+定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下:
基本要求 → 重新建立表象 →推理模式 → 組合定理 → 聯(lián)想定理
二、操作分析和說明
⒈ 定理的基本要求
我們認(rèn)為,能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)對幾何定理的書寫,因?yàn)閹缀味ɡ淼姆栒Z言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟,讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求,并重新整理了初中階段的定理(見附頁,此只列出與本文有關(guān)的定理),集中展示給學(xué)生。
例如定理43:直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
一劃:就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論,題設(shè)用直線,結(jié)論用波浪線,要求在劃時(shí)突出定理的本質(zhì)部分。
如:“直角三角形”和“高線”、“相似”。
二畫:就是依據(jù)定理的內(nèi)容,能畫出所對應(yīng)的基本圖形。
如:
三寫:就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上,能用符號語言表達(dá) ,允許采用等同條件。
如:∵△ABC是Rt△,CD⊥AB于D(條件也可寫成:∠ACB=90°,∠CDB=90°等) ∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。
學(xué)生在書寫時(shí)果然出現(xiàn)了一些問題:
①不理解每個(gè)定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時(shí)往往漏掉條件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中線等);對條件太簡單的不會(huì)寫(如定理3);或者把條件當(dāng)成結(jié)論(如定理12把三線都當(dāng)成結(jié)論)。
②還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會(huì)用定理,而有些學(xué)生把定理重新證明一遍(如定理5、6);或者在一個(gè)定理中出現(xiàn) ∵××,又∵××,∴××的錯(cuò)誤。
③更多的是沒有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條件當(dāng)成本質(zhì)條件(如定理7出現(xiàn) ∵∠1 和∠2是同位角,∴AB∥CD);條件重復(fù)(如定理49,結(jié)論∠APO=∠BPO已經(jīng)包括過圓心O,學(xué)生在條件中還加以說明);圖形過于特殊(如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形);文字過多(一些定理譯不出符號語言,用文字代替)等。
⒉ 重新建立表象
從具體到抽象,由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識的重要原則�！氨硐蟆本褪侨藗儗^去感知過的客觀世界中的對象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象,具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個(gè)定理都對應(yīng)著一個(gè)圖形,這給我們在教學(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對定理的表象不能只停留在實(shí)體的形象上,而是讓學(xué)生有意識的記圖形,想圖形,以形成和喚起表象。我們認(rèn)為,這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學(xué)生想形象的基本方法后,我們接下去的步驟是用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生,下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容:
⑴ 問:聽了老師的介紹后,你怎樣回憶垂徑定理的形象?
答:垂徑定理我在想的時(shí)候,腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個(gè)直角”在一閃一閃的,以后看到弧相等或其他兩個(gè)條件之一,腦子里就會(huì)浮現(xiàn)出垂徑定理。
目的:建立單個(gè)定理的表象,要求能想到非標(biāo)準(zhǔn)圖形。
繼續(xù)問:看到弧相等,你們只想到了垂徑定理,其他的定理就沒有想起來嗎?
答:想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦……
目的:通過表象,進(jìn)行聯(lián)想,使學(xué)生理解定理間的聯(lián)系。
⑵ 問:從定理21開始,你能找出和它有聯(lián)系的定理嗎?
答:有定理22(擦短使平行直線變成線段),定理25(特殊化成菱形),定理27……
目的:一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化,加深定理間的聯(lián)系。
⑶下面的步驟,我們讓學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷嘗試的過程中,通過比較、分析、判斷,進(jìn)一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯(lián)系和區(qū)別。從學(xué)生思考的角度看,他們主要是在尋找基本圖形,由于定理之間有一定的聯(lián)系,在一個(gè)基本圖形中往往存在著另一個(gè)殘缺的基本圖形,所以學(xué)生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段,也有通過特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)系起來。
下面摘錄的是學(xué)生自主思考后,得到的富有創(chuàng)意性的結(jié)論。
①定理16(延長中線成矩形)→ 定理24(作矩形的外接圓)→ 定理34。
②定理51(一線過圓心,且兩線垂直)→ 定理 數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分重視“定理教學(xué)”36(一線平移成切線)→ 定理47、48(繞切點(diǎn)旋轉(zhuǎn))→ 定理50。
③如下圖,把 EF 向下平移(或繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)),使定理37和50聯(lián)系起來(有同結(jié)論 ∠α=∠D):
⒊ 推理模式
從學(xué)生各方面的反饋情況看,多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定,往往聽課時(shí)知道該如何寫,而自己書寫時(shí)又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢?為此,我們在二步推理的基礎(chǔ)上,經(jīng)過歸納整理,總結(jié)了三種基本推理模式。
具體教學(xué)分三個(gè)步驟實(shí)施:
⑴精心設(shè)計(jì)三個(gè)簡單的例題,讓學(xué)生歸納出三種基本推理模式。
① 條件 → 結(jié)論 → 新結(jié)論 (結(jié)論推新結(jié)論式)
② 新結(jié)論 (多個(gè)結(jié)論推新結(jié)論式)
③ 新結(jié)論 (結(jié)論和條件推新結(jié)論式)
⑵通過已詳細(xì)書寫證明過程 的題目讓學(xué)生識別不同的推理模式。
⑶通過具體習(xí)題,學(xué)生有意識、有預(yù)見性地練習(xí)書寫。
這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架,在具體書寫時(shí)有一定的模式,有效地克服了學(xué)生書寫的盲目性。
但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步,這是什么原因呢?我們把它歸結(jié)為對推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的依據(jù)和單位不明白。因而我們根據(jù)需要,又設(shè)計(jì)了以下一個(gè)環(huán)節(jié)。
⒋ 組合定理
基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環(huán)節(jié),我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個(gè)定理的因果關(guān)系、多個(gè)定理的組合方式,然后由幾個(gè)定理組合后構(gòu)造圖形,進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生“用定理”的意識。
下面通過一例來說明這一步驟的實(shí)施。
例1:已知如圖,四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5,對角線 AC 與 BD 相交于E,且 AB = AE·AC,BD= 8。求△BAD的面積。(2001年嘉興市質(zhì)量評估卷六)
證明:連結(jié)OB,連結(jié)OA交BD于F。
學(xué)生從每一個(gè)推測符號中找出所對應(yīng)的定理和隱含的主要定理:
比例基本性質(zhì) → S/AS/ 證相似 →相似三角形性質(zhì) →垂徑定理 →勾股定理 →三角形面積公式
由于學(xué)生自己主動(dòng)找定理,因而印象深刻。在證明過程中確實(shí)是由一個(gè)一個(gè)定理連結(jié)起來的,也讓學(xué)生體會(huì)到把定理(不排除概念、公式等)鑲嵌在基本模式中,就能形成嚴(yán)密的推理過程。此時(shí),可順勢布置以下的任務(wù):給出勾股定理,你能再結(jié)合一個(gè)或多個(gè)定理,構(gòu)造圖形,并編出證明題或計(jì)算題嗎?
實(shí)踐表明:經(jīng)過“模式+定理”書寫方法的熏陶后,學(xué)生基本具備了完整書寫的意識。
⒌ 聯(lián)想定理
分析圖形是證明的基礎(chǔ),幾何問題給出的圖形有時(shí)是某些基本圖形的殘缺形式,通過作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形,為運(yùn)用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想(這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一),但對于識圖或想象力較差的學(xué)生來說,就比較困難,他們往往存有疑問:到底怎樣才能分解出基本圖形呢?在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢?因而我們從另一側(cè)面,即證明題的“已知、求證”上給學(xué)生以支招,即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理,以配合圖形想象。
例:如圖,⊙O1和⊙O2相交于B、C兩點(diǎn),AB是⊙O1 的直徑,AB、AC的延長線分別交⊙O2于D、E,過B作⊙O1的切線交AE于F。求證:BF∥DE。
討論此題時(shí),啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“AB是⊙O的直徑”聯(lián)想定理“直徑所對的圓周角是90°”,因而連結(jié)BC;“過B作⊙O的切線交AE于F”聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)”,得出∠ABF=90°。從而構(gòu)造出基本圖形②③。
由命題的結(jié)論“BF∥DE”聯(lián)想起“同位角相等,兩直線平行”定理,構(gòu)造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④ 的性質(zhì)結(jié)合在一起,學(xué)生就易于思考了。
這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語有:“由已知中的哪一個(gè)條件,你能聯(lián)想起什么定理?”、“條件組合后能構(gòu)成哪個(gè)定理?”、“有無對應(yīng)的基本圖形?”、“能否構(gòu)造出基本圖形?”等。目的是讓學(xué)生樹立起“圖形+定理”的思考方法,把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。
三、幾點(diǎn)認(rèn)識
復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上,只有通過學(xué)生的自身實(shí)踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑,因此在復(fù)習(xí)時(shí),我們始終堅(jiān)持主體性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性:提出問題讓學(xué)生想,設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生做,方法和規(guī)律讓學(xué)生體會(huì),創(chuàng)造性的解答共同完善。
“沒有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”(弗賴登塔爾)。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法,所以我們在教學(xué)時(shí)總留出足夠的時(shí)間來讓學(xué)生進(jìn)行反思,使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學(xué)生對幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識,但如果不加以鞏固,也會(huì)造成遺忘。因而我們也堅(jiān)持了滲透性原則,在平時(shí)的解題分析中時(shí)常有意識地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。
參考資料:
① 高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的理論和實(shí)踐 孟祥東等 《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》2001、3
② 全國初中數(shù)學(xué)教育第十屆年會(huì)論文集 P380 、P470
附錄:初中 數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分重視“定理教學(xué)”數(shù)學(xué)幾何定理集錦(摘錄)
1。同角(或等角)的余角相等。
3。對頂角相等。
5。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
6。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。
7。同位角相等,兩直線平行。
12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。
16。直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半。
19。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。
21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。
22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或?qū)蔷�互相平分的四邊形是平行四邊形。
24。有三個(gè)角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。
25。菱形性質(zhì):四條邊相等、對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角。
27。正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等。兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
34。在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對相等,那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等。
36。垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對弧。平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧。
43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形對應(yīng)高線的比,對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。
37.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角。
47。切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
48。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。 ②圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。 ③經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。
49。切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線,平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。
50。弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。
51。相交弦定理 ; 切割線定理 ; 割線定理
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