學齡前兒童計算能力的發(fā)展

學齡前兒童計算能力的發(fā)展 對兒童進行早期數(shù)學教育，不僅需要研究了解幼兒數(shù)概念發(fā)展的特點，也需要研究了解幼兒計算能力發(fā)展的特點。只有掌握幼兒計算能力的發(fā)展規(guī)律，才便于正確地確定幼兒計算教學的內容，提出適宜的進行計算教學的方法，同時也便于小學在此基礎上進行較為系統(tǒng)的數(shù)學教學。

　　本文的研究表明，幼兒在數(shù)概念發(fā)展的同時，計算能力也在逐步地發(fā)展著，而且與數(shù)概念的發(fā)展有著緊密的聯(lián)系。幼兒的計算能力也是在各種活動中以及成人的教育影響下逐步發(fā)展起來的。他們在對物體集合的元素反復進行操作的基礎上形成運算的初步概念，逐步掌握計算的方法，并對一些小的數(shù)目的計算逐步達到比較熟練。

一 幼兒的加、減計算能力的發(fā)展

　　通過測試研究，幼兒的加、減計算能力的發(fā)展大體經(jīng)歷三個階段。

　　（一）實物操作階段（三—四）歲

　　三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上還處于朦朧狀態(tài)。測試結果表明，讓兩歲半以下的幼兒先拿1個木塊，再添上1個木塊，問一共有幾個木塊，只有1/3的兒童能做對。有1/3的兒童不會拿�；蛘呦茸ヒ话�，再抓一把；或者先拿1個然后又拿走，也說不出有幾個。還有1/3的兒童在試者引導下能操作，但說不清一共有幾個木塊。如果讓兒童先拿 1個，再添上 2個，則只有 16.7%的兒童能夠操作，但說不出一共是3個。有少數(shù)兒童還是先拿1個，再拿1個，說一共是2個。這表明這些幼兒只認識數(shù)目2。減法的實物操作有類似的情況。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，83.3%能進行“1+1”“2-1”的實物操作，但當試者提出“1+2”“4-2”之類的實物操作要求時，能做對的很少。在出示需要用“1+1”或“2-1”計算的實際問題時，兩歲半以下的幼兒基本上都不會做，而且83.3%的幼兒的回答是加法問題和減法問題的得數(shù)相同。這表明這些幼兒在操作活動和數(shù)目的計算之間還沒有建立起聯(lián)系。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，對需用“1+1”計算的實際問題多數(shù)能正確回答，對需用“2-1”計算的實際問題則有半數(shù)能正確回答；但是當改換其他數(shù)目，如需用“2+2”“5-2”計算的實際問題則只有極少數(shù)能正確回答。這說明這個階段的大多數(shù)幼兒，由于多次操作活動，開始形成牢固的個別聯(lián)系，即1個添上1個是2個，2個拿走1個剩1個，但是還沒有真正理解加減運算的一般含義。

　　三歲多的幼兒開始進入加、減法的實物操作階段。這時約有半數(shù)幼兒能夠進行5以內加、減法的實物操作，極少數(shù)幼兒還能進行10以內加、減法的實物操作。有些幼兒能夠正確地進行操作，但是說錯了得數(shù)。另外還有些幼兒由于點數(shù)實物的能力還很差，操作還有困難。開始有一部分幼兒通過操作初步理解加、減法的含義，即添上是加，拿走是減。由于多數(shù)幼兒能點數(shù)實物并說出計數(shù)的結果，因而有些幼兒不僅能口頭回答得數(shù)，而且同時能用手指表示得數(shù)。例如，當提問“1個添上2個是多少？”有些幼兒一邊回答“3個”，一邊伸出3個手指。這說明幼兒在做加減計算時在極大程度上需要實物操作的支持。如果讓幼兒做抽象的數(shù)的計算，則5以內的加法有37.4％的幼兒做對，5以內的減法只有20％的幼兒做對，而且做對的題目大多是重現(xiàn)他們生活經(jīng)驗中已經(jīng)形成的聯(lián)系，幼兒還不會利用實物操作的方法（如數(shù)手指）去解決他們不熟悉的計算題。至于結合兒童生活經(jīng)驗的實際問題，除了需用“1+1”“2-l”計算的題目大多數(shù)幼兒能口答以外，其他題目很少能做對。大多數(shù)幼兒不理解題意，隨便說一個數(shù)來回答；甚至有的幼兒還沒聽完整個應用題，就說出一個得數(shù)。也有極少數(shù)幼兒能答對5以內的加、減法應用題，但是不明白是怎樣算的。例如，提問一個三歲十個月的幼兒，“小明有2塊糖，媽媽又給他2塊，小明一共有幾塊糖？”在說對得數(shù)以后，問她是怎樣想的，她說，“我知道幾個數(shù)，1加1等于2，2加2等于4。”這說明三歲多幼兒還沒有明確的選用運算方法和已知數(shù)的意識，有些幼兒雖然初步知道要用加法或減法計算，但是還不會根據(jù)題意選擇已知數(shù)，于是往往把自己所會的加法算式都說出來，做為回答，出現(xiàn)對刺激的反應的泛化現(xiàn)象。

　　（二）半具體半抽象階段（四—六歲）

　　這一階段幼兒計算能力的發(fā)展有以下幾個特點：

　　1.幼兒完全掌握了5以內加、減法的實物操作，大多數(shù)掌握了10以內加、減法的實物操作。通過實物操作大多數(shù)幼兒初步理解加、減法運算的含義。

　　2.能夠進行一些抽象數(shù)目的加、減計算，但一般還離不開具體的實物操作，出現(xiàn)大量的扳手指的現(xiàn)象。同三歲多的幼兒相比，應該說這是一個很大的進步。因為三歲多的幼兒還沒有完全掌握用實物計算的方法，還沒有學會利用手指進行計算。在測試中，令三歲多幼兒用手指算，大多數(shù)都不會。例如，讓三歲七個月的女孩伸指算3個添上2個是多少，她右手伸3個手指，左手伸1個手指；算6個添上3個是多少，就不會伸手指了。讓三歲十一個月的男孩算5個減去3個是多少，他先答“6”。再讓他伸指算，他先錯誤地伸4個手指，而且不會去掉3個。但是四歲多的幼兒，由于大都有了利用實物計算的能力，有些幼兒開始能把用實物計算的方法應用于抽象數(shù)目的計算中去。測試結果表明，5以內的加、減法，很多幼兒不需用手指就可以算出得數(shù)；5以上10以內的加、減法，四歲多的幼兒基本會用手指計算的只占33％左右，而五歲多的幼兒基本會用手指計算的達 75％左右。但是能用手指計算 20以內的加、減法的仍占少數(shù)，約占25％，而且大多數(shù)是五歲半以上的兒童。這些幼兒在用手指算20以內的進位加法時，也明顯地反映出半具體半抽象的特點。例如，讓一個五歲八個月的女孩算“8+4”，她先伸出8個手指，然后看著手指接著數(shù)4個數(shù)，說得“12”；另一個五歲九個月的女孩，采取另外一種方法，她伸出4個手指表示要加的4，然后看著手指點數(shù)9、10、11、12，說得“12”。

　　3.口頭解答加、減法應用題能力有較大發(fā)展。四、五歲的幼兒絕大多數(shù)能口頭解答5以內加、減法應用題，一半左右能口頭解答10以內加、減法應用題。這與幼兒掌握了用實物計算加、減法有密切的聯(lián)系。在成人教育的影響下，幼兒通過大量的用實物計算活動，一方面初步理解加、減法的含義，另一方面逐步學會用實物（特別是手指）計算的方法，從而就為口頭解答加、減法應用題創(chuàng)造了條件。測試結果表明，這個階段的幼兒口頭解答5以內加、減法應用題，正確率都高于相應范圍的抽象數(shù)目的計算，有些幼兒做得還比較熟練。但是這不能說明幼兒對加、減法的含義和應用已有較深的理解，仍說明這階段幼兒的加、減法計算的半具體半抽象的特點，并在很大程度上是因為聯(lián)系兒童日常生活的事物為兒童提供了具體的直觀的表象。從以下的事實可以得到證明：（1）這個階段的幼兒在操作活動中往往是用“添上”“去掉”等詞語來表示“加”和“減”的概念的，當出示抽象數(shù)目的式題，如說“3加2”“5減3”時，很多幼兒還不懂“加”“減”的意思，甚至有用手指計算加法的方法來計算減法。（2）有些幼兒不會做5以內加、減法的某幾個式題，但是能夠做類似的應用題，這在減法中尤為明顯。例如，在五歲的幼兒中有50％不會做式題“5-3”，其中三分之一的幼兒完全不懂“5-3”的意思，但是都能做對用“ 5-2”計算的應用題；其中一半幼兒在做式題“5-3”時不會扳手指，但是做用“5-2”計算的應用題時卻能用扳手指的方法做對了。這說明由于應用題給幼兒提供了計算活動的情境，使幼兒在頭腦中產(chǎn)生實物計算的表象，借助表象并配合實物計算達到正確地計算出結果。（3）在口頭解答應用題時，大多數(shù)幼兒只能說出得數(shù)，而說不出加法或減法算式。如五歲多的幼兒能說出加法算式的只占1/3，能說出減法算式的只有8.3％。說明幼兒雖然能口頭解答一些加、減法應用題，但仍處在直觀的表象的階段，幼兒對于用加、減法算式來表示生活中的計算問題還沒上升到概括性的認識。

　　另外一個值得注意的問題是，這個階段的幼兒在抽象數(shù)目的計算中，一般都表現(xiàn)為加法的成績明顯優(yōu)于減法的成績。說明減法計算要比加法計算難。這與幼兒的心理發(fā)展有關。按照皮亞杰的觀點，從心理學上講，加法與減法是一種運算。因為作為一個運算，其特點之一是具有可逆的行動。加法作為一種可逆的運算，其本身就包括了它的逆運算——減法。但是在幼兒期，還缺乏可逆性的運算能力。據(jù)測試，四五歲幼兒有50％對提出的減法題做了加法。其中大多數(shù)是用手指算的。例如，算“3-1”，幼兒左手伸3個手指，右手伸1個手指，然后合起來數(shù)，說“得4”。少數(shù)幼兒不伸手指，直接按正序數(shù)數(shù)。例如，算“5-3”，一個幼兒按正序數(shù)1、2、3、4、5、6，說“得6”。在口頭解答減法應用題時，有些幼兒雖然說對了得數(shù)，但是當讓他們解釋怎樣算的時候，往往說的是加法。例如，提出這樣一道應用題，“小華有5塊餅干，吃了2塊，小華還剩幾塊餅干？”一個四歲八個月男孩回答，“因為3塊餅干加上2塊餅干，吃了2塊餅干。”一個四歲七個月女孩則回答，“因為 3加 1等于 4， 4加 1等于 5�！保ㄍ瑫r把5個手指和3個手指加起來。）這說明幼兒在思考減法應用題時，還不會直接用減法計算，而是用嘗試法給減數(shù)添上幾個湊成被減數(shù)，從而確定剩余的數(shù)。在成人看來這樣想似乎是困難的，實際上這是幼兒向可逆行的運算能力發(fā)展的雛型，這樣還為進一步認識加減法的運算關系做了具體的準備。這種情況在五、六歲的幼兒中也常看到。

　　（三）抽象數(shù)的加、減計算階段（六—七歲）

　　這個階段兒童開始進入抽象數(shù)的加、減計算，這時兒童的加、減計算能力有較快的發(fā)展，主要有以下幾個特點：

　　1.絕大多數(shù)兒童掌握了5以內的加、減法，多數(shù)能做10以內的加、減法，少數(shù)能做20以內的進位加法和退位減法，甚至能做100以內比較容易的加、減法。

　　2.依靠實物計算有所減少。特別是5以內的加、減法，大多數(shù)兒童能夠不費思索地答出得數(shù)，還需用手指計算的兒童不到20％，這同四、五歲幼兒相比已顯著減少。10以內的加、減法，遇到一些數(shù)目較大的計算，仍有約半數(shù)的兒童往往要用手指計算。至于20以內的加、減法，還有少量兒童不會用手指計算。經(jīng)過教師的教學，大都能掌握計算的方法。

　　3.有些兒童能夠部分地或完全擺脫實物計算，進入抽象數(shù)的加、減計算。他們的推想方法是多種多樣的。在做加法時主要采用以下幾種方法：（1）在第一個加數(shù)后面接著數(shù)數(shù)。如 8加 4，有的兒童能從8起接著數(shù)4個數(shù)，得到 12。（2）分組加。如 6加 9，有的兒童想到 6加 4等于 10， 10再加 5等于 15。（3）利用熟悉的相同數(shù)加得的和來推算。如4加3，有的兒童想出4加4等于8，再減少1個，得7。這表明這些兒童已初步理解整體與部分間的某種增減關系和變化規(guī)律。在做減法時主要采用以下幾種方法：（1）倒著數(shù)數(shù)。如15減8，從15起一個一個地倒數(shù)到7。（2）利用加減關系。如 8減 5，有些兒童能說出，“因為 5加 3等于 8， 8減5就等于3�！北砻鬟@些兒童已經(jīng)具有可逆行的運算的能力。（3）利用已熟悉的減法來推算。如11減6，有些兒童說10減6等于4，11減6等于5。這實際上也是利用了整體與部分間的增減關系和變化規(guī)律。以上這些推想方法，在一定程度上具有邏輯運算的性質，只是在兒童的頭腦中還是直觀的、具體的，還沒有形成抽象概括，但是無疑為以后的進一步抽象概括打下了重要基礎。在測試中也發(fā)現(xiàn)有些兒童對所給的題目能夠正確答出得數(shù)，卻說不出所用的推想方法，或者對10以內加、減法能說清楚，而對20以內加、減法就說不清楚。這表明這個階段很多兒童對自己的思維還缺乏自我意識的能力。

　　這個階段的兒童在做用加、減計算的應用題時，比前一階段也有所發(fā)展。但是由于兒童對加、減法的概念主要是從合并、添加、去掉等方面來理解，因此所能解答的應用題也主要限于這個范圍之內的。至于求兩數(shù)相差多少的應用題，兒童還很少理解。據(jù)研究，五、六歲的幼兒理解合并、添加用加法，去掉用減法，可達90％以上，而理解求差需用減法的，只占30％左右。

二 幼兒乘、除計算能力的發(fā)展

　　幼兒的乘、除計算能力的發(fā)展與加、減計算能力的發(fā)展不同，一般地說是在非教學影響下自發(fā)地發(fā)展起來的，其發(fā)展的起始較晚，發(fā)展的速度較慢。但是即使如此，不少幼兒用非乘、除計算的方法口頭解答實際問題的能力也達到一定的水平。

　　測試結果表明，能夠用非乘、除計算的方法口頭解答乘、除法應用題的幼兒，最早始于四歲半左右。四歲半以下的幼兒都不理解題意，很少作出反應。四歲半以上至五歲多的幼兒一般都有反應，但是多數(shù)回答是錯誤的，能正確算出結果的約占25％左右。四五歲幼兒在進行計算時，同做加、減法類似，大多數(shù)依靠實物，主要是看手指。例如，提出一道乘法應用題，“一個小朋友給2個蘋果，3個小朋友一共要給幾個蘋果？”五歲八個月的女孩邊伸手指邊說，“一個小朋友給2個，2個小朋友給4個，再來一個小朋友是6個。”提出一道除法應用題，“老師有8支鉛筆，一個小朋友分給2支，可以分給幾個小朋友？”五歲一個月的男孩伸出8個手指，把每2個并起來，邊扳手指邊說，“這倆是一個小朋友的，這倆是兩個小朋友的，這倆是3個小朋友的，這倆是4個小朋友的�！毖哉Z表達雖不確切，但從他的操作過程看，思路是很清楚的。六歲多的幼兒做乘、除法應用題能正確算出結果的可達半數(shù)左右，而且需要憑借實物操作的有所減少，開始能夠依靠表象進行思考。例如，在做乘法應用題時，有的幼兒能用連加法計算，如“2個和2個合起來是4個，再2個，合起來是6個�！庇行┯變翰扇×硗庖环N加法，他們的思路是，“一人給1個就要給3個，一人給2個就要加上3個，所以是6個�！睂嶋H上是把人數(shù)作為相同加數(shù)相加，這反映了實際分物品的一種方法。在做除法應用題時，有的幼兒能用同數(shù)連減的方法推算出來；還有的幼兒壓縮了思維過程，簡化了推算步驟，如說“8支鉛筆分給3個小朋友（以后）還剩2支”，從而確定一共可以分給4個小朋友。從幼兒的推想可以看出，他不僅把除法應用題與減法應用題聯(lián)系起來，而且注意到它們之間的區(qū)別，即做除法應用題時，不是求剩余多少，而是看分盡時減去了幾個2支，就是分給幾個小朋友。但是也還有相當數(shù)量的幼兒由于缺乏實際分的經(jīng)驗，不理解題意，把除法計算與減法計算混同起來。例如，有些幼兒回答說，“給一個小朋友發(fā)2支，還剩6支，就是發(fā)給6個小朋友�！边�有些幼兒回答說，“能發(fā)出6支鉛筆�！蔽鍤q多的幼兒的回答也有類似的情況。

三 對發(fā)展幼兒計算能力的幾點意見

　　從上面的調查研究可以看出，學齡前兒童計算能力的發(fā)展也具有一定的順序性和階段性。一般地說，稍遲于兒童數(shù)概念的發(fā)展。三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上處于朦朧狀態(tài)。三歲多幼兒開始進入加、減法的實物操作階段，他們能夠用實物操作（包括數(shù)手指）做一些極簡易的加、減計算，但是還不能用來解決他們不熟悉的或數(shù)目稍大的計算題。四、五歲的幼兒，進入半具體半抽象的階段。一方面逐步完善較小數(shù)目的加、減計算的實物操作，另一方面逐步擴大數(shù)的計算范圍；但是他們在很大程度上仍依靠實物操作的方法來進行抽象數(shù)目的計算，只對較小數(shù)目的加、減法能夠擺脫實物或手指來進行計算。六、七歲的幼兒開始進入抽象數(shù)的加、減計算階段。這一時期幼兒依靠實物操作進行計算有所減少，一部分幼兒能夠進行抽象數(shù)目的加、減計算，有些幼兒的抽象思維還達到較高的水平。四歲半以后，有些幼兒的乘、除計算能力也開始發(fā)展，但是仍限于用非乘、除的計算方法來口頭解答乘、除法應用題。幼兒的這些計算能力發(fā)展的特點，不僅為學前的數(shù)學教育提供有利的科學依據(jù)，也對小學的數(shù)學啟蒙教育具有很大的參考價值。

　　下面就如何根據(jù)幼兒的年齡特點，發(fā)展幼兒的計算能力，談一點個人意見。

　�。ㄒ唬┯變旱挠嬎憬虒W的內容和要求要適應兒童的年齡特點，不宜要求過高。學齡前兒童的教育屬于預備教育的性質，計算知識和技能的教育也要在這一基本前提下根據(jù)幼兒的發(fā)展特點適當教給一些極初步的、簡易的計算知識和技能，不能要求過多過高，否則不利于幼兒德、智、體、美、勞的全面發(fā)展。

　　從國際上看，很多國家對幼兒的計算教育要求也是比較低的。例如，在日本，幼兒在六歲上小學以前完全不教加、減計算。在羅馬尼亞，幼兒進入小學前只教加1減1的計算。在俄羅斯，幼兒在學前只教一些簡易的10以內加、減法，加法只限較大數(shù)加較小數(shù)，減法只限減數(shù)小于差的，計算方法也只限于逐次加1或逐次減1。美國學前也只教10以內簡單的加、減法。從前面測試的結果看，我國六歲以下的幼兒，由于教學和家庭的影響，雖然能做一些加、減計算，但是大都依靠數(shù)手指，有些幼兒還不會利用手指進行計算；六歲以上的幼兒做加、減法，也還有少一半要依靠數(shù)手指。從普及的角度考慮，為了不加重幼兒的學習負擔，使幼兒的身心得到健康的發(fā)展，也避免造成幼兒園與小學的過多重復，可以把幼兒園的計算內容限定在10以內加、減法，而且不宜要求達到像小學一年級那樣熟練，只要通過實物操作初步理解加、減法的含義，能正確算出較容易的10以內加、減法的得數(shù)就可以了。

　�。ǘ�）計算教學的順序要適合幼兒的心理發(fā)展順序。教幼兒計算按照什么順序進行，過去往往帶有盲目性。例如，有些家長一開始就教幼兒抽象數(shù)目的加、減計算，有些幼兒園或學前班則基本按照教小

　�。ㄈ�）教學方法也要適應幼兒的年齡特點。幼兒的計算教學是極初步的啟蒙性質的數(shù)學教學，同時培養(yǎng)幼兒對數(shù)的計算的興趣，為以后上小學做些初步的準備。要達到這一目的，選用適當?shù)慕虒W方法就非常重要。首先要注意通過各種游戲和有趣的活動來進行計算的教學，使幼兒在游戲、玩耍當中學到極初步的計算知識，并且自始至終注意培養(yǎng)幼兒對計算的興趣。其次教學時選用的方法要符合幼兒的年齡特點。例如，教四歲的幼兒計算只要進行一些實物操作就可以了，活動的時間不宜太長。就是到了大班，教學一些抽象數(shù)目的計算也不能完全離開實物操作，注意在實物操作的基礎上進行適當?shù)某橄�、概括。因為整個幼兒階段思維的特點還是以形象思維為主。此外，在游戲、操作等活動中都要注意啟發(fā)幼兒的思考，調動幼兒思維的積極性、主動性，使幼兒在學到初步的計算知識的同時，思維能力也得到初步的發(fā)展。

附表

1

2

3

一次作業(yè)評講中的研究性學習

4

平行四邊形的識別的進一步探索

5

6

數(shù)學課堂生活化

7

8

9

10