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從一個土豆大小談起
從一個土豆大小談起 這是一堂數(shù)學(xué)復(fù)習課。同學(xué)們根據(jù)復(fù)習內(nèi)容——立體圖形的體積計算，早把學(xué)具一一作了準備。有的拿來 了長方體的鐵盒，有的拿來了正方體的紙盒，有的拿來了圓柱形的鐵桶，有的拿來了圓錐形的量杯……誰知老 師卻提來半桶水和一包細砂土，還帶來一架稱重量的天平，弄得同學(xué)們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復(fù)習內(nèi)容了？”……這時，老師從兜里拿出一個土豆兒，高高舉起來，說：“今 天咱們復(fù)習立體圖形的體積計算，看誰能用學(xué)過的知識，計算出土豆兒的體積？”說著，神秘地看了看大家。
頓時，教室里靜了下來。誰都知道，我們雖然學(xué)過正方體、長方體和圓柱體、圓錐體的體積計算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個不規(guī)則的形體，那怎么計算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時，誰也不知怎么辦？
正當同學(xué)們困惑不解的時候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長方體的鐵罐內(nèi)，然后微笑著， 用期待的目光看著同學(xué)們。
“老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺，他先用尺子從里面量出長方體鐵罐的長（a）、寬（b ）和高（h[,1]）， 然后將土豆兒放入罐內(nèi)，并用細砂把鐵罐填滿。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。
這時，有人插話：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積�！�
小昆看了看插話的同學(xué)，繼續(xù)有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內(nèi)取出，唯恐帶出砂子，接著 再用小三角板將罐內(nèi)的砂面刮平，并測出砂面的高度（h[,2]）， 然后對大家說：“罐內(nèi)砂面的高度由h[,1]降 到h[,2]，就是因為取出土豆兒的緣故，所以，土豆兒的體積可以這樣計算�！闭f著，就在黑板上板書起來。
土豆兒體積＝長方體鐵罐容積－鐵罐內(nèi)砂子體積
＝V[,1]－V[,2]＝abh[,1]－abh[,2]
“其實，小昆的計算方法可以改進”。還是剛才插話的那位同學(xué)，指著小昆的板書說：“abh[,1]－abh[, 2]，就是ab（h[,1]－h(huán)[,2]），也就是說，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了�！�
“砂子面的高度差就是從罐內(nèi)取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計算土豆兒的體積，只要用長方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看——”大為同學(xué)不僅進一步改進了計算方法，而且還在黑 板上畫出示意圖。
附圖{圖}
土豆兒體積＝長方體鐵罐的底面積×砂面下降的高度
V＝abh[,3]
這時，教室里的氣氛熱烈起來了。
“要是鐵罐不漏水的話，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計算出土豆兒的體積。”
“用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計算土豆兒的體積。”（見圖）
附圖{圖}
土豆兒的體積＝正方體容器的底面積×砂（水）面下降的的高度
V＝a[2]h
“只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個鐵盒也照樣可以�！倍⻊� 說著，高高地舉起他帶來的口小底大的鐵皮盒。
這時，老師一邊在黑板上畫示意圖，一邊鼓勵二剛：“可以。請你具體講一講。”
附圖{圖}
“雖然這個容器的底兒是長方形，但是計算容積時，應(yīng)該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的長�！闭f著，他干凈利索地操作起來——放入土豆兒，填滿砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內(nèi)砂面 ，測量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長（f）。然 后，板書計算方法：
土豆兒體積＝橫截面面積×容器的長度
V＝1／2（a＋b）hf
“測量橫截面的面積，也可以用中位線乘以高�！庇钟腥瞬逶�。
“當然可以！”二剛指著容器內(nèi)，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現(xiàn)的梯形，胸有成竹地說，“只 要測出中位線（m）和高（h）就可以�！�
土豆兒體積＝砂面下降橫截面面積×容器的長
V＝mhf
“剛才，同學(xué)們都利用計算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積的計算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著同學(xué)們帶來的其它學(xué)具，啟發(fā)大家。
這次，小剛同學(xué)搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機玻璃桶，照樣可以計算土豆兒體積。”
“那你試試看�！崩蠋熣f。
小剛自信地走上講臺，開始操作：他把圓柱形的有機玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進桶里。這時，桶內(nèi)的水沿著桶的邊沿流入缸內(nèi)，直到水滴停止。接著他從里面 測量了玻璃缸的底面直徑和缸內(nèi)的水面高度，然后，在黑板上板書：
土豆兒體積＝排出的水的體積
＝玻璃缸的底面積×流入缸內(nèi)的水面高度
V＝sh
＝πr[2]h
＝π（d／2）[2]h
“這樣測量不準確！”
“可不，桶的側(cè)面還粘有不少水呢！”不少同學(xué)提出了意見。
老師走上講臺，親切安慰了小剛幾句，然后對大家說：“誰能做得準確一些呢？”
話音剛落，小昆再次走上講臺。他先把土豆兒放進桶內(nèi)，然后小心地將桶注滿水，接著用兩把小尺子輕輕 地插入桶內(nèi)，去夾土豆兒。雖然動作很小心，但是桶內(nèi)的水還是溢出一點兒，不過量很少，而且他不再測量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對大家說：“剛才滿桶的水，現(xiàn)在桶內(nèi)水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積。”小昆見同學(xué)們都在認真聽講，接著說：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和 取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了�！�
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