用猜想驗證的方法化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)

用猜想驗證的方法化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)

把循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法，可以用移動循環(huán)節(jié)的過程來推導，也可以用無限遞縮等比數(shù)列的求和公式計 算得到。下面我們運用猜想驗證的方法來推導。
    （一）化純循環(huán)小數(shù)為分數(shù)
    大家都知道：一個有限小數(shù)可以化成分母是10、100、1000 ……的分數(shù)。那么，一個純循環(huán)小數(shù)可以化成 分母是怎樣的分數(shù)呢？我們先從簡單的循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)開始。如：＠①、＠②……化成分數(shù)時 ，它們的分母可以寫成幾呢？
    想一想：可能是10嗎？不可能。因為1/10＝0.1〈＠①，3/10＝0.3〉＠②；可能是8嗎？不可能。 因為1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0.375〉＠②；那么，可能是幾呢？因為1/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分 母可能是9。 下面我們來驗證一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝ ＠②。
    計算結果說明我們的猜想是對的。那么，所有循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是9的分數(shù)嗎 ？讓我們根據(jù)自己的猜想， 把＠③、＠④化成分數(shù)后再驗證一下。
    ＠③＝4/9 驗證：4/9＝4÷9＝0.444……
    ＠④＝6/9＝2/3 驗證：2/3＝2÷3＝0.666……
    經過上面的猜想和驗證，我們可以得出這樣的結論：循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用一個 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用9 作分母；然后，能約分的再約分。
    循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)怎樣化成分數(shù)呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分數(shù)時，它們的分母又可以寫 成多少呢？
    想一想：可能是100嗎？不可能。因為12/100＝0.12〈＠⑤，13/100＝0.13〈＠⑥�？赡苁�98嗎？不可能。 因為12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0.1327〉＠⑥；可能是多少呢？因為12/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥ 〈13/98，所以分母可能是99。是否正確，還需驗證一下。
    12/99＝12÷99＝0.121212……＝＠⑤；
    13/99＝13÷99＝0.131313……＝＠⑥。
    驗證結果說明我們的猜想是正確的。那么，所有循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是99的分 數(shù)嗎？讓我們再運用猜想的方法，把＠⑦、＠⑧化成分數(shù)后，驗算一下。
    ＠⑦＝15/99＝5/33，驗算：5/33＝5÷33＝0.151515……
    ＠⑧＝18/99＝2/11，驗算：2/11＝2÷11＝0.181818……
    經過這次猜想和驗證，我們可以得出這樣的結論：循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用一個循 環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用99作分母；然后，能約分的再約分。
    現(xiàn)在，你能推斷出循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法嗎？
    因為循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用9作分母， 循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù) 時，用99作分母，所以循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，我們猜想是用999作分母， 分子也是一個 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。讓我們再來驗證一下，如果這個猜想也是正確的，那么，我們就可以依次推下去了。
    附圖{圖}
    實驗證明：我們的猜想是完全正確的。照此推下去，循環(huán)節(jié)是四位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，就要用 9999作分母了。實踐證明也是正確的。所以，純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法是：
    用9、99、999……這樣的數(shù)作分母，9 的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同；用一個循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)作分子；最 后能約分的要約分。
    二、化混循環(huán)小數(shù)為分數(shù)
    我們已經運用猜想驗證的方法研究過怎樣化純循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，再用這種方法研究一下怎樣化混循環(huán)小數(shù) 為分數(shù)。
    還是先從較簡單的數(shù)入手，如：
    附圖{圖}
    ……這樣循環(huán)節(jié)只有一位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，分子、分母分別有什么特點呢？
    這樣想：一個混循環(huán)小數(shù)有循環(huán)部分，還有不循環(huán)部分，能否將它改寫成一個純循環(huán)小數(shù)與一個有限小數(shù) 的和，然后再化成分數(shù)呢？讓我們試試看。
    附圖{圖}
    觀察以上過程，你能看出循環(huán)節(jié)只有一位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成的分數(shù)有什么特點嗎？很容易看出：它們 的分母都是由一個9與幾個0組成的數(shù)。再仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：0 的個數(shù)恰好與不循環(huán)部分的數(shù)字個數(shù)相同。它 們的分子有什么特點呢？不難看出：它們的分子都比不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)要小。到底小多少 呢？讓我們算一算：
    （1）21－19＝2 （2）543－489＝54 （3）696－627＝69
    細心觀察不難看出：分子恰好是一個比不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)少一個由不循環(huán)部分的數(shù)字 所組成的數(shù)。這個規(guī)律具有普遍性嗎？讓我們運用以上的規(guī)律把
    附圖{圖}
    化成分數(shù)，驗證一下它的正確性。
    附圖{圖}
    驗證：352/1125＝352÷1125＝0.312888……
    驗證的結果是完全正確的。那么，循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成的分數(shù)，分子、分母是否也有這樣 的規(guī)律呢？分子是由一個比小數(shù)的不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)少一個不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù) ；分母是由9和0組成的數(shù)，0 的個數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字個數(shù)相同，9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字個數(shù)相同。 讓我們按照猜想的方法試把
    附圖{圖}
    化成分數(shù)，然后再驗證一下。
    附圖{圖}

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一次作業(yè)評講中的研究性學習

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平行四邊形的識別的進一步探索

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數(shù)學課堂生活化

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