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概括是數(shù)學(xué)思維的核心
概括是數(shù)學(xué)思維的核心 概括，就是把個別的和特殊的事例總結(jié)、推廣成普遍的和一般的結(jié)論。數(shù)學(xué)的特點決定了概括在數(shù)學(xué)思維中的核心地位。培養(yǎng)小學(xué)生的概括能力是培養(yǎng)和發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重點。 在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，教師首先應(yīng)提供足夠直觀的背景材料。“直觀”包括學(xué)生熟知的知識、經(jīng)驗、手段、工具、策略等，這是材料的“質(zhì)”；“足夠”的材料，是準(zhǔn)確而完整地概括所必需的最少例證，這是材料的“量”。 有了背景材料的質(zhì)、量保證，就為學(xué)生科學(xué)地概括提供了充分條件。 其次，要恰當(dāng)變換問題的具體情境。面對一種思維情境，沒有顯而易見的解決方法，這樣的情境就是問題，問題解決就是從已知狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的運動過程。 小學(xué)生概括的膚淺性，往往表現(xiàn)為從問題次要的、表面的形式上去觀察和比較，而對問題主要的、本質(zhì)的東西視而不見。針對這種現(xiàn)象，教學(xué)的，教師應(yīng)當(dāng)先顯示標(biāo)準(zhǔn)的常式，再出示非標(biāo)準(zhǔn)的變式，即先揭示概念的內(nèi)涵后揭示概念的外延。 提供的變式材料，一定要注意改變事物的非本質(zhì)屬性和非特定情形，不要改變事物的本質(zhì)屬性，這樣能使學(xué)生的概括集中指向事物的本質(zhì)要素，不致于干擾和阻礙概括的過程。 第三，發(fā)揮解題模式的誘發(fā)功能。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)界對題型分類和解題模式一直爭論不休�，F(xiàn)行統(tǒng)編教材編排更是十分忌諱模式或類型。然而無論怎么改變，模式卻是客觀存在的。事實上，一個公式、一條定律、一道范例，都自然成了學(xué)生思維的模式。就連最簡單的20以內(nèi)的進(jìn)位加法中的“湊十法”也是地道的模式。 模式就是可供模仿的原型。在思考問題的，任何人總要把新問題歸結(jié)成記憶力已知的認(rèn)知圖式或解題模式。因此，在解數(shù)學(xué)問題時，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概括時，教師應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想相關(guān)的解題模式及其要素、在模式的指導(dǎo)下進(jìn)行有的放矢的思維，這樣可以縮短概括的過程，提高概括水平。 第四，教會學(xué)生概括的主要方法。簡單地講有以下4種： 1．從觀察和比較中概括。 要讓學(xué)生養(yǎng)成耐心、全面地觀察，精細(xì)、認(rèn)真地比較的良好習(xí)慣，特別是要能從相同中發(fā)現(xiàn)不同點，或從相異處找出相同點。讓學(xué)生經(jīng)常自問：有哪些相同的地方？不同處在哪里？ 2．從類比和歸納中概括。 類比是從特殊到特殊的推理，歸納是從特殊到一般的推理，這兩種推理的結(jié)論，都必須進(jìn)行概括。類比實質(zhì)上是從提供的原型中找到模式，再利用模式獲得新的概括，如把比例尺的關(guān)系式同百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系式類比，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點：比例尺相當(dāng)于百分率，圖上距離相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量，實際距離相當(dāng)于比較量，這樣可合二為一獲得新的概括－－比例尺應(yīng)用題實質(zhì)上可歸結(jié)為百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路。并且這樣解題更加簡捷明快。歸納是建構(gòu)模式中不可能少的環(huán)節(jié)，演繹則是對模式的具體應(yīng)用，由于教材封閉性的特點，大多數(shù)內(nèi)容只能以演繹體系呈現(xiàn)，實質(zhì)上就減少了概括的過程，通過歸納，不僅可以復(fù)原結(jié)論的形成過程，而目可以在歸納中學(xué)會概括一類事物的本質(zhì)屬性，提高概括能力，扇形面積公式就是通過舊納而概括成的。 3．從直觀和抽象中概括。 直觀的板書、演示、操作等，為小學(xué)生的概括減少了難度，定律、法則等內(nèi)容較多的結(jié)論，可借助板書幫助概括。在抽象中概括，主要指聯(lián)合各獨立的數(shù)學(xué)條文，形成包攝程度更高更為一般的概括、如從分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)、一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)以及帶分?jǐn)?shù)乘法中概括出分?jǐn)?shù)乘法的統(tǒng)一法則就屬這一情形。 4．從小結(jié)和評價中概括。 解題后的小結(jié)與評價都需用概括化的語言表達(dá)；每堂課的小結(jié)和評價也同樣需用語言加以概括，概括語言的精練、準(zhǔn)確，反映著概括水平達(dá)到了一定程度。 值得指出的是，概括必須憑借數(shù)學(xué)語言加以外化，數(shù)學(xué)語言充當(dāng)著概括的物質(zhì)載體，因此，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，一定要伴隨準(zhǔn)確、嚴(yán)密的語言表達(dá)，使概括能力和語言表達(dá)能力協(xié)同發(fā)展。
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