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關(guān)于相對(duì)論與其解的時(shí)空分析
關(guān)于相對(duì)論與其解的時(shí)空分析 一。狹義相對(duì)論的時(shí)空解及比較
在狹義相對(duì)論中，兩慣性系相對(duì)速度 與 和 平行
（1）
（ ）為 坐標(biāo)系的坐標(biāo)，（ ）為 坐標(biāo)系的坐標(biāo)，令 ， ，所以變換矩陣為
（2）
如果; ,相對(duì)速度 不變，那么
(3)
比較 與
（4）
（5）
比較后知道（4）式=（5）式
（6）
二。時(shí)空觀測(cè)的定義
為了較方便地說清楚不同的觀測(cè)結(jié)果與不同坐標(biāo)中長(zhǎng)度與時(shí)間的相互比較
的關(guān)系，在字母頂部加3個(gè)指標(biāo)，
如：
定義為：左邊指標(biāo)為觀察目標(biāo)所在的坐標(biāo)系，中間指標(biāo)為觀察者選擇的單
位長(zhǎng)度與時(shí)間所在的坐標(biāo)系，右邊指標(biāo)為觀察者觀察時(shí)所在的坐標(biāo)系。這樣有：
其中， 和 是固有時(shí)， 與 是固有長(zhǎng)度。
三。 的推導(dǎo)
在狹義相對(duì)論中有
(6.1)
那么，在什么條件下上式會(huì)是普適的呢？
先來考察歐幾里德幾何。對(duì)觀察者而言，在歐幾里德幾何中的二維空間的坐
標(biāo) 中，觀察到的單位長(zhǎng)度 ，與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標(biāo) 中，
觀察到的單位長(zhǎng)度 。觀察者是無法在長(zhǎng)度方面區(qū)別 和 的，即
（7）
這是歐幾里德幾何的觀察者假設(shè)，也是符合經(jīng)驗(yàn)的假設(shè)，以前從未被指出過。
根據(jù)相對(duì)論，在四維時(shí)空坐標(biāo)中，時(shí)空量表示為：
（8）
廣義相對(duì)論中的不變量原理確定了，任意四維時(shí)空坐標(biāo)都有（8）式。
現(xiàn)在，在非歐幾里德的四維時(shí)空坐標(biāo)中，推廣歐幾里德幾何的觀察者假設(shè)。
先定義一種四維時(shí)空坐標(biāo)，在觀察者觀察的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)坐標(biāo)內(nèi)的時(shí)空度規(guī)
時(shí)間平移不變性和空間平移不變性，令ξ為坐標(biāo)內(nèi)時(shí)空?qǐng)靓?
ξ ,(i=1,2,3,4)，表示為李（Lie）微商有
?ξ gμυ =0 （9）
而
（10）
如果所取的時(shí)空體積足夠小，即 ，那么總可以成為這種坐標(biāo)。這種坐
標(biāo)具有普適性。
在四維時(shí)空中,隨意取兩個(gè)這種坐標(biāo) 和 ，觀察者在坐標(biāo)內(nèi)所觀察到的單
位時(shí)空量 和 ，如果觀察者不與坐標(biāo)外其他坐標(biāo)比較的話，他是無法在
時(shí)空量方面區(qū)分他在 和坐標(biāo)內(nèi)觀察到的單位時(shí)空量和（觀察者在 坐標(biāo)內(nèi)觀察 時(shí)，也不能與 坐標(biāo)內(nèi)的比較。他只能分別觀察 和 后，再比較 和 ）。這是四維彎曲時(shí)空的觀察者假設(shè)。即觀察
者無法區(qū)分不同的這種坐標(biāo)系的固有時(shí)間和固有長(zhǎng)度。
這樣觀察者可以得到
（11）
令 ， ，得：
（12）
（12.1)
由（9）式和（10）式的定義，觀察者總能認(rèn)為他所在的坐標(biāo)系內(nèi)滿足
（13）
（14）
那么有
（6）
因
所以 有相同的量綱。
所以可以，令
（15）
（16）
那么有
（15.1)
(16.1)
所以
(17)
而在上述定義的坐標(biāo)系中，總有
（18）
所以 （19）
這樣就有在上述定義的坐標(biāo)系中，時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化
量相等。這就是時(shí)空的對(duì)稱變化。可寫為
（6）
這里稱為時(shí)空對(duì)稱理論。上式的空間量是固有長(zhǎng)度 和 ，時(shí)間量則
不是固有時(shí)，固有時(shí) 和 有下列關(guān)系：
（20）
而 和 不符合 中的任一
種時(shí)間量的微分，故
（16）
不是真實(shí)觀測(cè)值。
四。Schwarzchild解的分析
用時(shí)空對(duì)稱理論求解Schwarzchild解十分簡(jiǎn)單，在得到 后，因
（19）
可得
（15.2)
(16.1)
(13.1)
下面用廣義相對(duì)論四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解，并比較時(shí)空對(duì)稱理
論用四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解的辦法
（t=ict , c =1) (21)
這是靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式。
在求解過程中得到
， （22）
令 ，得到
（23）
令 ，其物理意義是將絕對(duì)平直坐標(biāo)系內(nèi)的固有時(shí)與固有長(zhǎng)度之間
物理?xiàng)l件，應(yīng)用到有引力場(chǎng)的非慣性坐標(biāo)系。
因此
（16.2)
不是真實(shí)觀測(cè)值。
而固有時(shí) 與 之間有
（20.1)
這樣 與固有長(zhǎng)度的度規(guī) 有
（24）
又因?yàn)閷?duì)觀測(cè)者而言 項(xiàng)是觀測(cè)不到的，所以觀測(cè)到的是正交時(shí)空
坐標(biāo)，這樣靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式：
（t=ict , c =1) （21）
不符合要求，只有
（25）
符合要求。
計(jì)算克里斯朵夫聯(lián)絡(luò)的非零分量，其中
， ， ，
， 。
與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣。 （26）
也與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣，也可得
， （22）
令 ，Schwarzchild解中的長(zhǎng)度量，用固有長(zhǎng)度表示有
（23.1）
用時(shí)空對(duì)稱理論求解Schwarzchild解有
（13.1）
因?yàn)?項(xiàng)觀測(cè)不到，任何觀測(cè)坐標(biāo)都是正交的。
不變，
（其中的r 是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的觀測(cè)者的觀測(cè)值， ）
這樣，時(shí)空對(duì)稱理論依舊可解釋引力紅移，引力引起的光線偏折和水星近
日點(diǎn)進(jìn) 動(dòng)（詳細(xì)內(nèi)容在附錄中）。
這樣，用時(shí)空對(duì)稱理論和廣義相對(duì)論求得的Schwarzchild解時(shí)空物理意義
等價(jià)。
五。關(guān)于Kerr解
Kerr解中 不全為0，不是真實(shí)觀測(cè)解，不能符合用四維時(shí)空的觀
察者假設(shè)推導(dǎo)出的時(shí)空對(duì)稱理論。
但用時(shí)空對(duì)稱理論分析自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，也能得到Kerr解才有的單位質(zhì)量的角
量a ，這將在下面分析。
六。時(shí)間量和空間量
經(jīng)驗(yàn)告知，空間是三維的，時(shí)間是一維的。在觀測(cè)者的直接觀測(cè)中，是觀
測(cè)不到空間與時(shí)間，空間與空間的相互作用。
故假定：觀測(cè)者通過直接觀測(cè)，無法觀測(cè)到空間與時(shí)間的相互作用量。即：
(27)
除非通過計(jì)算觀測(cè)結(jié)果，方可知道空間與時(shí)間的相互作用量。
這樣，對(duì)觀測(cè)者的直接觀測(cè)而言，任何觀測(cè)四維時(shí)空的線元長(zhǎng)度為
(13)
而 項(xiàng)是觀測(cè)不到的。
絕對(duì)平直時(shí)空的四維時(shí)空線元
（13）
就是任何觀測(cè)者的直接觀測(cè)結(jié)果。
設(shè)有一種坐標(biāo)系：
在該坐標(biāo)系內(nèi)任何一點(diǎn)觀測(cè)，光在此坐標(biāo)系內(nèi)的任何兩點(diǎn)的行走路 徑，都
是直線；在坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的真空中光速恒定，稱為相對(duì)平直坐標(biāo)系。在彎曲時(shí)
空取足夠小的時(shí)空范圍，可得到此類坐標(biāo)系，這類似微分。在彎曲時(shí)空取足夠小
的時(shí)空范圍，該范圍的時(shí)空近似平直。這與上面關(guān)于直接觀測(cè)是觀測(cè)不
到 項(xiàng)是一致的。在此坐標(biāo)系內(nèi)有統(tǒng)一的時(shí)空單位和統(tǒng)一的鐘和尺。
所以，此坐標(biāo)系有：
（28）
[v]是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)真空中光的速度， [t]是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的
時(shí)間。
以后本文中的坐標(biāo)系都是此類坐標(biāo)系。稱為相對(duì)平直坐標(biāo)系。
不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系之間是"平行"的，須通過物理參數(shù)的變化，物質(zhì)方
能從一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系進(jìn)入另一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系。
（29）
（29）是時(shí)空對(duì)稱理論，即時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所
用的坐標(biāo)系是相對(duì)平直坐標(biāo)系。其中 和 不是固有時(shí)，設(shè)這兩個(gè)坐標(biāo)系
固有時(shí)為 和 ，有：
（30）
所以，這里的時(shí)間量平方 與空間量平方 不能理解為：
可用時(shí)間單位或空間單位的平方代替，而應(yīng)理解為類似密度的一種量，稱為時(shí)
間量密度與空間量密度。時(shí)空對(duì)稱理論是指時(shí)間量密度與空間量密度的對(duì)稱變
化。
令時(shí)間量密度為 ，空間量密度為 ，
類比固有時(shí)平方的倒數(shù) ，并可以替代；
類比固有長(zhǎng)度平方 ，并可以替代；
（ 分別為固有時(shí)和固有長(zhǎng)度）
令時(shí)空密度為 ，不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系有不同的時(shí)空密度 ，任意相對(duì)平直坐標(biāo)系中有
（31）
在同一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系中， 類比線元 ，但是不可以替代。
不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系比較時(shí)空觀測(cè)值時(shí)，須使用時(shí)間量密度和空間量密
度，通過設(shè)定某一相對(duì)平直坐標(biāo)系時(shí)間量密度和空間量密度為1，得到不同的相
對(duì)平直坐標(biāo)系的不同時(shí)間量密度和空間量密度。然后，對(duì)不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系
換算出不同的時(shí)間量和空間量單位。
這樣時(shí)空對(duì)稱理論實(shí)際上是關(guān)于時(shí)空密度的變化的理論，可表示為：
（32）
為不同的兩個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系時(shí)空密度， 為時(shí)空密度的變化量。
七。時(shí)空密度的變化量
在狹義相對(duì)論中
（33）
在Schwarzschild解中
（c=1） (34)
引力 （35）
根據(jù)等效原理有慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量，或在局域時(shí)空內(nèi)慣性力和引力不
可區(qū)分，在本文中局域時(shí)空為相對(duì)平直坐標(biāo)系代替，那么在相對(duì)平直坐標(biāo)系中
（36）
（37）
（38）
所以有：
（39）
在狹義相對(duì)論和Schwarzschild解中
（33）
那么，時(shí)空對(duì)稱理論中，時(shí)空密度變化量 ，在 時(shí)，
（33）
這樣 （37）
變?yōu)?（40）
此積分為不定積分。
這里 是能量的一種形式。用四維時(shí)空觀點(diǎn)看， 是二階逆變二階
協(xié)變張量而不是狹義速度矢量的平方。
時(shí)空對(duì)稱理論在 時(shí)表示為
（41）
為須觀測(cè)的坐標(biāo)系的時(shí)空密度； 為觀測(cè)者所在的坐標(biāo)系的時(shí)空密度，時(shí)間密度，空間密度； 是能量的一種形式。哪個(gè)坐標(biāo)系絕對(duì)地得到能量，這個(gè)坐標(biāo)系的時(shí)空密度絕對(duì)地改變。
八。時(shí)空對(duì)稱理論和狹義相對(duì)論
假設(shè)兩個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系，一個(gè)靜止，一個(gè)角速度為 做圓周運(yùn)動(dòng)。
用時(shí)空對(duì)稱理論分析
(42)
對(duì)于角速度為 的坐標(biāo)系，離心力為 （ r 為圓周半徑），
即 （43）
（44）
所以，時(shí)空密度的變化量 為
（45)
有 （46）
對(duì)于固有時(shí) 和固有長(zhǎng)度 有
（47）
用狹義相對(duì)論分析固有時(shí)和固有長(zhǎng)度有
（48）(是速度方向）
可以看出兩理論對(duì)固有時(shí)有相同結(jié)論；對(duì)于固有長(zhǎng)度，時(shí)空對(duì)稱理論認(rèn)為
固有長(zhǎng)度全方向改變，狹義相對(duì)論認(rèn)為只是平行瞬間速度 方向的固有長(zhǎng)度
改變。
用時(shí)空對(duì)稱理論和狹義相對(duì)論分析以速度 v做直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系也有相同
結(jié)論，只不過時(shí)空對(duì)稱理論將以速度 v做直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系當(dāng)做繞無窮遠(yuǎn)處某
點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。
對(duì)于邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn)，狹義相對(duì)論是用慣性系中光速恒定來解釋，時(shí)空
對(duì)稱理論是用相對(duì)平直坐標(biāo)系中光速不變來解釋。
九。時(shí)空對(duì)稱理論的詳細(xì)表述
假設(shè)1：設(shè)有時(shí)空坐標(biāo)系
(28)
（即光速恒定, 項(xiàng)觀測(cè)不到 ）
是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)光的速度， 指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的固有時(shí)。
此類坐標(biāo)系稱為相對(duì)平直坐標(biāo)系。
假設(shè)2：任何觀測(cè)者所觀測(cè)到的真實(shí)時(shí)空坐標(biāo)系都是相對(duì)平直坐標(biāo)系。
不論是慣性系或非慣性系，只要坐標(biāo)系足夠小，都是此類坐標(biāo)系。
相對(duì)平直坐標(biāo)系之間比較時(shí)空量，使用時(shí)空密度
（31）
是時(shí)間密度 ， 是空間密度。
在任一相對(duì)平直坐標(biāo)系中，觀測(cè)者處在相同的時(shí)空密度 中，就有相同
的時(shí)間密度 和 空間密度 ，因而有相同的固有時(shí)和固有長(zhǎng)度。
的大小正比于固有時(shí)流逝的快慢。
的大小正比于固有長(zhǎng)度的長(zhǎng)短。
時(shí)空對(duì)稱理論可表述為
(32)
為不同相對(duì)平直坐標(biāo)系的時(shí)空密度。
當(dāng) ，有 （42）
(40)
用四維時(shí)空觀點(diǎn)看是二階逆變二階協(xié)變張量。
時(shí)空對(duì)稱理論認(rèn)為 是能量的一種形式，而不是狹義的速度平方或加速
度，或二階逆變二階協(xié)變張量，上式的積分為不定積分。
當(dāng)能量形式 絕對(duì)的改變，時(shí)空密度 絕對(duì)的改變。
十。時(shí)空對(duì)稱理論對(duì)不同坐標(biāo)系之間的觀測(cè)比較
時(shí)空對(duì)稱理論對(duì)不同坐標(biāo)系之間的觀測(cè)比較可簡(jiǎn)單的分為兩種情況。其計(jì)
算結(jié)果是真實(shí)觀測(cè)值。
1。兩個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系 , 比較，有時(shí)空密度 ，
假設(shè)：
那么： （42）
為兩坐標(biāo)系時(shí)空密度的比較
坐標(biāo)系 的固有時(shí)比坐標(biāo)系 的固有時(shí)流逝快。
坐標(biāo)系 的固有長(zhǎng)度比坐標(biāo)系 的固有長(zhǎng)度長(zhǎng)。
并通過 （40）
與經(jīng)典的速度，引力和加速度對(duì)比，從而得到不同坐標(biāo)系的固有時(shí)和固有
長(zhǎng)度的區(qū)別。
2。設(shè)有三個(gè)坐標(biāo)系 ，時(shí)空密度分別為 ，
假設(shè)
有
（32.1)
(49)
其中（ , ）
不論觀測(cè)者在 坐標(biāo)系都將得到（49）式觀測(cè)結(jié)果，觀測(cè)者在第四坐標(biāo)系也將得到（49）式觀測(cè)結(jié)果，這是時(shí)空對(duì)稱理論中所得計(jì)算結(jié)果是真實(shí)觀測(cè)
值的推論，也是時(shí)空對(duì)稱理論的兩個(gè)假設(shè)的推論。
十一。關(guān)于時(shí)空對(duì)稱理論可能的實(shí)驗(yàn)證實(shí)
一種是檢測(cè)高速自轉(zhuǎn)物體的半徑和厚度是否縮短？
這種情況下，狹義相對(duì)論認(rèn)為只有沿速度方向的周長(zhǎng)縮短，半徑和厚度不
變。而時(shí)空對(duì)稱理論認(rèn)為周長(zhǎng)，半徑和厚度都將縮短。半徑縮短后為
（略去 以后項(xiàng)） （49）
項(xiàng)與Kerr-Newman解中的單位質(zhì)量角動(dòng)量項(xiàng)a一致。
厚度縮短后為
（50）
另外一種是一個(gè)加速運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與相對(duì)靜止的坐標(biāo)系之間，在 的情況下，將有時(shí)空密度 的變化。
那么，當(dāng)發(fā)射光譜的元素做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將有類似引力紅移的光譜紅移現(xiàn)
象。
如果，是發(fā)射光譜的元素靜止，而觀測(cè)光譜的儀器和觀測(cè)者做加速運(yùn)動(dòng)，
將有光譜紫移現(xiàn)象。
除去多普勒效應(yīng)，由振動(dòng)頻率公式可得，光譜線發(fā)生紅移時(shí)，移動(dòng)的頻率
為： （51）
是光子的固有振動(dòng)頻率
很顯然，對(duì)于相對(duì)平直坐標(biāo)系中的物體而言，當(dāng) 時(shí)，物體進(jìn)入類似黑洞事件視界的另一種事件視界。
參 考 文 獻(xiàn)
A.愛因斯坦 相對(duì)論的意義 科學(xué)出版社 1961
E.G.哈里斯 現(xiàn)代理論物理導(dǎo)論 上�？茖W(xué)技術(shù)出版社 1975
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對(duì)論及黑洞物理學(xué) 華中師范大學(xué)出版社 1986
王仁川 廣義相對(duì)論引論 中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強(qiáng) 廣義相對(duì)論引論 北京大學(xué)出版社 1997
趙崢 黑洞的熱性質(zhì)與時(shí)空奇異性 北京大學(xué)出版社 1999 附 錄
（用時(shí)空對(duì)稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)）
廣義相對(duì)論中求質(zhì)點(diǎn)和光子的軌道方程時(shí)，取球坐標(biāo)，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)滿足于
, （1）
協(xié)變動(dòng)量 和 是守恒量，有
（2）
E和L的物理意義，為觀測(cè)者所測(cè)到的質(zhì)點(diǎn)或光子的能量和角動(dòng)量。
四維速度的歸一條件 有
（3）
得到質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程
（4）
光子的軌道微分方程
（5）
廣義相對(duì)論用這兩個(gè)軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點(diǎn)
進(jìn)動(dòng)。
廣義相對(duì)論用來解釋引力紅移的方法也一樣適用于時(shí)空對(duì)稱理論。這里
就不重復(fù)了。只討論時(shí)空對(duì)稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。
因?yàn)闀r(shí)空對(duì)稱理論是用真實(shí)觀測(cè)值來解釋時(shí)空的理論。用它得到的Schw-
arzschild解有
（6）
（7）
固有時(shí)的關(guān)系有
（8）
固有長(zhǎng)度的關(guān)系有
（9）
為時(shí)空密度， 為時(shí)間密度， 為空間密度。
按固有時(shí)和固有長(zhǎng)度來看，觀測(cè)者在遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的坐標(biāo)系，觀測(cè)引力場(chǎng)坐
標(biāo)系有
（10）
是引力場(chǎng)坐標(biāo)系固有時(shí)， 是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的坐標(biāo)系固有時(shí)， 是引力場(chǎng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)平面角。這樣就有
（11）
因?yàn)閮蓚�(gè)坐標(biāo)系之間的能量 ，角度 ，角動(dòng)量 和長(zhǎng)度 的比較有
（12）（能量守恒）
（13） （ 項(xiàng)為零）
（14） （坐標(biāo)系之間固有時(shí)和固有長(zhǎng)度的比較）
（15） （坐標(biāo)系之間固有長(zhǎng)度的比較）
代入（11）式有
（16）
四維速度的歸一條件變?yōu)檎鎸?shí)觀測(cè)值有
（17）
將（16）式代入（17）式有
(18)
, 這就是時(shí)空對(duì)稱理論的引力場(chǎng)中的軌道微分方程。
能量E是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)中的觀測(cè)者觀測(cè)到引力場(chǎng)中的能量，為引力場(chǎng)坐標(biāo)系與無窮遠(yuǎn)處坐標(biāo)系的能量差，數(shù)量級(jí)為 略去二級(jí)小量，時(shí)空對(duì)稱理論的軌道微分方程成為相對(duì)論的質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程
（4）
對(duì)于光子而言，角動(dòng)量 ，因?yàn)楣庾釉谌跻?chǎng)中走的幾乎是直線，
可以認(rèn)為光子繞無窮遠(yuǎn)處某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。
（4）式 略去小量后，得到相對(duì)論的光子軌道微分方程
（5）
這樣，用時(shí)空對(duì)稱理論就可以解釋引力紅移，光子軌線的引力偏折和水星日
點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)了。
參 考 文 獻(xiàn)
A.愛因斯坦 相對(duì)論的意義 科學(xué)出版社 1961
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對(duì)論及黑洞物理學(xué) 華中師范大學(xué)出版社 1986
王仁川 廣義相對(duì)論引論 中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強(qiáng) 廣義相對(duì)論引論 北京大學(xué)出版社 1997
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