物理極值問題的求解方法1

物理極值問題的求解方法1

物理極值問題的求解方法1

    隨著教改的不斷深入，物理教學(xué)更加結(jié)合實(shí)際，物理習(xí)題的題型不斷拓寬。在中學(xué)物理競賽及高考試卷中都出現(xiàn)了一些具有一定難度的求極值問題。求極值的一般方法是用導(dǎo)數(shù)求解。但中學(xué)生還沒有學(xué)過關(guān)于異數(shù)的數(shù)學(xué)知識。本專題將分若干小專題，分別介紹符合中學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的解決極值問題的方法。

一、幾何法求極值

    在初中幾何中我們曾經(jīng)學(xué)過“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短�！贝私Y(jié)論對于求極小值問題，是一條捷徑。

例1.如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ₀沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時(shí)與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動時(shí)的加速過程，認(rèn)為它一起航就勻速運(yùn)動。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？

    分析與解：分析本題是兩個(gè)運(yùn)動物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球?yàn)閰⒄障�，兩個(gè)物體都運(yùn)動，且運(yùn)動方向不一致，它們之間的相對位置隨時(shí)間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時(shí)不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運(yùn)動的物體上，（如B上）由于以誰為參照系，就認(rèn)為誰不動，此題就簡化為一個(gè)物體，（如A）在此運(yùn)動參照系的運(yùn)動問題了。當(dāng)然解一個(gè)物體的運(yùn)動問題比解兩個(gè)物體都運(yùn)動的問題自然容易多了。

以B為參照系，B不動，在此參照系中A將具有向左的分速度υ₀，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過O點(diǎn)作PB的垂線，交PB于E點(diǎn)，OE即為A船對地的速度的最小值υ_A，在△AOE中

    ∵υ_A=υ₀Sinθ 而
    ∴，由于靈活運(yùn)用了幾何知識，使較為復(fù)雜的問題，變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}了。

例2.如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ，欲以一個(gè)拉力F使物體沿地面勻速前進(jìn)。問F與水平地面的夾角θ為何值時(shí)最省力？這個(gè)最小拉力是多大？
    分析與解：畫出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個(gè)力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對物體的滑動摩擦力f，其中f=Nμ。這四個(gè)力為共點(diǎn)力，合力為零。可將N與f合成為一個(gè)力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關(guān)系滿足平行四邊形法則。再畫出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過B點(diǎn)作N′的垂線交N′于C點(diǎn)，則BC的長度即表示最小作用力F_min，由于F_min與水平面夾角為θ,

    ∴∠CAB=∠θ F_min=Gsinθ
       由圖1-6可知，
   
    即 θ=arctanμ
    幾何法一般用于求極小值問題，其特點(diǎn)是簡單、直觀，把物體運(yùn)動的較為復(fù)雜的極值問題，轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題去解，便于學(xué)生掌握。

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