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惠更斯與概率論的奠基
惠更斯與概率論的奠基 摘要:惠更斯是概率論學(xué)科的奠基者之一。其《論賭博中的計算》是第一部概率論著作,該書首次提出數(shù)學(xué)期望的概念,創(chuàng)立了“惠更斯分析法”,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構(gòu)成一個較完整的理論體系。
關(guān)鍵詞:點子問題 概率論 惠更斯 遞推法 數(shù)學(xué)期望
在紀元之初,民間就流行用抽簽來解決人們彼此間的爭端,這可能是最早的概率應(yīng)用。隨著社會的發(fā)展,隨機現(xiàn)象愈來愈左右著人類的生活。因而在不確定性因素的情境中,尋找行為的理性規(guī)則,使理性服從機遇的愿望成為數(shù)學(xué)家研究的課題之一。直到文藝復(fù)興時期,隨機世界依然撲朔迷離、不能辨析。作為研究隨機現(xiàn)象的概率論出現(xiàn)在17 世紀中葉,象征著概率論誕生的標志,就是克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huy-gens ,1629 - 1695) 在1657 年發(fā)表的《論賭博中的計算》(On Reckoning at Games of Chance ) 一文。
一、論文的來源
惠更斯1629 年誕生于海牙的一個富豪之家。其父知識淵博,擅長數(shù)學(xué)研究,同時又是一杰出的詩人和外交家�；莞箯男∈艿搅烁赣H的熏陶,喜歡學(xué)習(xí)和鉆研科學(xué)問題。16 歲進入萊頓大學(xué)學(xué)習(xí),后轉(zhuǎn)到布雷達大學(xué)學(xué)習(xí)法律和數(shù)學(xué)。26 歲獲得法學(xué)博士學(xué)位。數(shù)學(xué)老師范·舒藤(Frans Van Sehooten) 指導(dǎo)他學(xué)習(xí)當時的著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家卡卡維(Carcavi) 的數(shù)學(xué)著作及其哲學(xué)著作�；莞箯闹懈形虻綌�(shù)學(xué)的奧妙而對數(shù)學(xué)很感興趣。1650 —1666 年期間,他大多時間在家中潛心研究光學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域,成果顯著,一舉成為當時聞名遐邇的科學(xué)家。
除去在光學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域的貢獻外,惠更斯也有出眾的數(shù)學(xué)才能,可謂是一個解題大師,早在22 歲時就寫出關(guān)于計算圓周長、橢圓弧及雙曲線的論文。他發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)技巧,解決了大量數(shù)學(xué)問題。如他改進了計算π值的經(jīng)典方法;繼續(xù)笛卡爾、費馬和帕斯卡的工作,對多種平面曲線,如懸鏈線、曳物線、對數(shù)螺線、旋輪線等都進行過研究;對許多特殊函數(shù)求得其面積、體積、重心及曲率半徑等,某些方法與積分方程的積分法相似。伯努利兄弟對惠更斯的研究極為佩服,尤其是約翰(John Bernoulli ,1667 —1748) 發(fā)現(xiàn)旋輪線也是最速降線時甚是激動。他說:“這惠更斯等時曲線(旋輪線) 就是我們正在尋求的最速降線! 我感到十分驚奇!”惠更斯在數(shù)學(xué)方面的最大貢獻,就是以《論賭博中的計算》一文奠基了概率論的基礎(chǔ)。
1654 年,賭徒梅勒向當時的“數(shù)學(xué)神童”帕斯卡(B1Pascal ,1623 - 1662) 提出了其在賭場上遇到的幾個不解問題。后帕斯卡與費馬(Pierre de Fermat ,1601 - 1665) 以通信的方式對這些問題進行了較為詳盡的討論,并將其推廣到一般情形,這就使概率計算由單純計數(shù)而轉(zhuǎn)向更為精確的階段,但二人都不愿意發(fā)表研究成果,故有關(guān)概率知識沒有得到及時傳播。
1655 年秋,惠更斯第一次訪問巴黎。他遇到羅貝瓦爾(G1P1de Roberval) 及梅勒恩(Mylon) ,但沒有見到帕斯卡和費馬。他獲知去年有一場關(guān)于概率問題的討論,但不知其具體解決方法及結(jié)果。由于羅貝瓦爾對此問題毫無興趣,因而惠更斯對費馬和帕斯卡的討論結(jié)果幾乎一無所知。
1656 年4 月,回國后的惠更斯自己解決了這些概率問題,并將其手稿送給范·舒藤審閱,同時寫信給羅貝瓦爾,尋求幾個概率問題的解答。此時范·舒藤正在籌印其《數(shù)學(xué)習(xí)題集》,因而他建議惠更斯將此文印刷發(fā)表,并親自替學(xué)生將該文譯成拉丁文。由于惠更斯沒有收到羅貝瓦爾的信,便又寫信給梅勒恩,并通過卡卡維將信轉(zhuǎn)給費馬。在1656 年6 月22 日費馬的回信中,給出與惠更斯相一致的解決方案,但無證明過程。此外,費馬又向惠更斯提出了5 個概率問題。閱信后,惠更斯很快解出這些問題,并把其中2 個問題收錄在著作中。他于7 月6日將結(jié)果送給卡卡維讓其轉(zhuǎn)給梅勒恩、帕斯卡和費馬確定解答正確與否�？ǹňS在9月28 日的回信中肯定了惠更斯的解答,并給出帕斯卡與費馬對點子問題的解決方案,但無證明�；莞乖�10 月12日給卡卡維的回信中也提出了一個無證明的解決方法。
1657 年3 月在最后一次校訂時,惠更斯將其論文增加為9 個命題和5 個問題,形成了《論賭博中的計算》的基本構(gòu)架。惠更斯還將給范·舒藤的一封信作為該文的前言,這篇前言形成了全文的思想基礎(chǔ)。他在其中明確地提出:“盡管在一個純粹運氣的游戲中結(jié)果是不確定的,但一個游戲者或贏或輸?shù)目赡苄詤s可以確定。”〔1〕可能性用的是“probability”,其意義與今天的概率幾無差別�；莞沟倪@種思想使得“可能性”成為可以度量、可以計算、具有客觀實際意義的概念。信中惠更斯強調(diào)了這一新理論的重要性:“我相信,只要仔細研究這個課題,就會發(fā)現(xiàn)它不僅與游戲有關(guān),而且蘊含著有趣而深刻的推理原則。”并惋惜地說“, 法國的杰出數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了這些問題,無人會把這個發(fā)明權(quán)授予給我�！逼鋬�(nèi)容被編排在范·舒藤之書的519 - 534 頁。該書出版于1657 年9 月,而荷蘭文版出版于1660 年,英文版出版于1692 年,德文版出版于1899 年,法文版出版于1920 年,意大利文版出版于1984 年。
二、創(chuàng)立數(shù)學(xué)期望
《論賭博中的計算》的寫作方式很像一篇現(xiàn)代的概率論論文。先從關(guān)于公平賭博值的一條公理出發(fā),推導(dǎo)出有關(guān)數(shù)學(xué)期望的三個基本定理,利用這些定理和遞推公式,解決了點子問題及其他一些博弈問題。最后提出5 個問題留給讀者解答,并僅給出其中的3 個答案。通常所謂惠更斯的14 個命題,指的就是書中3 條定理加上11 個問題。
公理:每個公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學(xué)期望數(shù)〔2〕。
對這一公理至今仍有爭議。所謂公平賭注的數(shù)額并不清楚,它受許多因素的影響。但惠更斯由此所得關(guān)于數(shù)學(xué)期望的3 個命題具有重要意義。這是數(shù)學(xué)期望第一次被提出,由于當時概率的概念還不明確,后被拉普拉斯(P1S1M1de Laplace ,1749 —1827) 用數(shù)學(xué)期望來定義古典概率。在概率論的現(xiàn)代表述中,概率是基本概念,數(shù)學(xué)期望則是二級概念,但在歷史發(fā)展過程中卻順序相反。
關(guān)于數(shù)學(xué)期望的三個命題為:
命題1 若在賭博中獲得賭金a 和b 的概率相等,則其數(shù)學(xué)期望值為( a + b)P21
命題2 若在賭博中獲得賭金a 、b 和c 的概率相等,則其數(shù)學(xué)期望值為( a + b + c)P31
命題3 若在賭博中分別以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 獲得賭金a 和b ,則獲得賭金的數(shù)學(xué)期望值為pa + qb1
這些今天看來都可作為數(shù)學(xué)期望定義。但對惠更斯來說,必須給出演繹證明,因當時對數(shù)學(xué)的一種公認處理方法是從盡可能少的公理推導(dǎo)其他內(nèi)容。惠更斯所給的命題1 證明為:
假設(shè)在一公平的賭博中,勝者愿意拿出部分賭金分給輸者。若二人的賭注均為x ,勝者給輸者的為a ,因而所剩賭金為2 x - a = b ,故x = ( a + b)P2。
帕斯卡與費馬在通信中所說的“值”等于賭注乘以獲勝的概率,因而已于概率無本質(zhì)區(qū)別。而惠更斯在這里將“值”改稱為“數(shù)學(xué)期望”是一個進步(在該書荷蘭版中,惠更斯仍沿用“值”的概念) 。
將命題3 推廣便得到今日數(shù)學(xué)期望的定義。因此惠更斯當之無愧是數(shù)學(xué)期望概念的奠基人。
三、求解點子問題
所謂點子問題是:甲乙二人賭博,其技巧相當,約定誰先勝s 局則獲全部賭金。若進行到甲勝s1 局而乙勝s2 局時( s1 < s , s2 < s) ,因故停止,賭金應(yīng)如何分配才公平?
惠更斯深刻認識到點子問題的重要性,因而在其著作中有6 個命題討論了該問題。命題4 - 7 都是有關(guān)二人的點子問題,而命題8 和命題9 將問題推廣到三人及若干個人。
惠更斯的解決思路為:賭徒分得賭注的比例等于其獲勝的概率。他假設(shè)賭徒在每局獲勝的概率不變,且各局間相互獨立。這樣就可以歸結(jié)為一般問題:
設(shè)隨機試驗中某隨機事件每次成功的概率為p ,重復(fù)獨立進行該試驗若干次,求在b 次失敗前取得a 次成功的概率。
惠更斯認識到點子問題的關(guān)鍵與已勝局數(shù)無關(guān),而與離全勝所差局數(shù)相關(guān)。設(shè)甲離全勝所差局數(shù)為a= s - s1 ,而乙為b = s - s2 ,則至多再進行的局數(shù)為a + b - 1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。
命題4 - 7 分別為( a , b) = (1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (2 ,4) 。
點子問題推廣后可應(yīng)用于當今一些體育比賽問題。如甲、乙兩隊進行某種比賽,已知每局甲勝的概率為016 ,乙勝的概率為014。可采用3 局2 勝制或5 局3 勝制進行比賽,問哪種比賽制度對甲有利? 點子問題可轉(zhuǎn)化為古典概型中的三大概型之一的摸球問題。即從裝有m 個白球n 個黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a 次黑球前摸到b 次白球的概率。由此又可以轉(zhuǎn)化為大量的應(yīng)用問題。二項分布、幾何分布、負二項分布等常見離散型分布均可由點子問題引申出來,所以點子問題的圓滿解決是概率論誕生的標志之一。
當時梅勒問帕斯卡的另一個問題是:據(jù)經(jīng)驗知,一顆骰子連擲4 次“至少出現(xiàn)一個6 點”的概率大于1P2 ;兩顆骰子擲一次的結(jié)果6 倍于一顆骰子擲一次的結(jié)果,那么,兩顆骰子擲24 次“至少出現(xiàn)一對6 點”的概率也應(yīng)大于1P2 ,但賭場的經(jīng)驗并非如此,應(yīng)如何解釋?! 梅勒憤怒地譴責數(shù)學(xué),粗暴地斷言,算術(shù)是自相矛盾的�；莞箤Υ艘策M行了深刻討論,并將其分解成如下三個命題。
命題10 一顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一個6 點”?
命題11 兩顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一對6 點”?
命題12 一次擲多少顆骰子有利于“至少出現(xiàn)一對6 點”?
惠更斯利用命題3 及遞推法圓滿解決了上述問題。
四、獨創(chuàng)分析法
在《論賭博中的計算》的最后兩個命題中,惠更斯創(chuàng)立了著名的“惠更斯分析法”來解決概率問題。
命題13 甲、乙二人賭博,將兩顆骰子擲一次,若其點子和為7 則甲贏,為10 則乙勝,為其它點則平分賭注。試求二人分配賭注的比例。
命題14 A ,B 二人輪流擲兩顆均勻的骰子,若A 先擲出7 點,則A 勝;若B 先擲出6 點,則B 勝。B 先擲,求A 獲勝的概率。
對命題14 ,惠更斯的解法為:設(shè)全部賭注為t ,A 的期望為x ,則B 的期望為t - x ,則當B 擲時,A 的期望為x ;當A 擲時,A 的期望為y 。因每次投擲時,A 的獲勝概率為6P36 ,B 的獲勝概率為5/36 ,由命題3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。
解得x = 31 t/36 即A 獲勝的概率為31/36 。
這個問題的求解與前面的方法不同,通過列代數(shù)方程來求解,這是惠更斯的獨創(chuàng),該方法后被雅可布(Jacob Bernoulli ,1654 —1705) 稱之為“惠更斯分析法”〔4〕�；莞箾]有給出進一步的討論,但按其思想可得更一般解法�？梢�,惠更斯從數(shù)學(xué)期望入手,明確給出了概率的客觀意義,但他的概率計算全是通過期望來進行的。從期望出發(fā)解釋概率,與以概率定義期望的現(xiàn)代概率論恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。
五、惠更斯的5 個問題
惠更斯的最后5 個問題,雖也都是在形形色色的賭博機制中,計算一方取勝的概率,但在概率論誕生初期,這無疑是向同時代數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn)〔5〕。他說:“給我的讀者(如果有的話) 留下一些思考題應(yīng)該是有益的,這將供他們練習(xí)或者打發(fā)時間。”
問題1 兩人玩擲雙骰子游戲。若A 擲出6 點則贏,而B 擲出7 點勝。A 先擲一次后, B 擲二次,A 再擲二次,如此下去直至一方獲勝。A 與B 的勝負比是多少? (答案:10355 比12276)
該問題是費馬在1656 年6 月向惠更斯提出的,顯然它是命題14 的推廣。在1656 年7 月6 日惠更斯寫給卡卡維的信中提到問題解決方案。
問題2 一袋中裝有4 個白球8 個黑球,3 人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的機會比。
惠更斯在其1665 年的筆記中給出問題答案為9∶6∶4 。
問題3 有40 張牌,每種花色10 張。甲同乙打賭他能抽出花色不同的4 張牌,每人投的賭注應(yīng)是多少?(答案:1000∶8139)
這個問題由費馬在1656 年6 月向惠更斯提出,在1656 年7 月6 日惠更斯寫給卡卡維的信中提出問題解決方案。
問題4 一袋中裝有4 個白球8 個黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7 個球中含有3 個白球。求二人獲勝的機會比。
惠更斯在其1665 年的筆記中記錄著這個問題的答案為35∶99 。
問題5 二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12 個籌碼,若擲出11 點,甲給乙一個籌碼,而擲出14 點,則乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的機會比。(答案:244140625∶282429536481)
這個問題就是著名的賭徒輸光問題,也叫具有兩個吸收壁的隨機游動問題。它由帕斯卡向費馬提出,后卡卡維于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和費馬的解答�；莞乖�1656 年10 月12日給卡卡維的回信中提出自己的解法,其證明過程可在其1676 年的讀書筆記中發(fā)現(xiàn)。
六、歷史評價
到17 世紀時,不少學(xué)者已對賭博中的某些問題進行了討論,并挖掘了其中的數(shù)學(xué)原理。但對當時的大多數(shù)學(xué)家來說,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。正是社會的發(fā)展及其需要,才推動了概率論的發(fā)展。如果沒有社會的需要,概率論至今恐怕仍然只能在牌桌上顯示神通�！案怕收摦a(chǎn)生于賭博”,這個觀點是錯誤的或者說是不完全對的。“賭博問題”和“理性思考”是概率論產(chǎn)生的兩個必要條件,而后者更重要。猶如蘋果落地千千萬,而只有牛頓從中發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。
不少學(xué)者錯誤地認為,帕斯卡、費馬和惠更斯三人一起討論了概率問題,而后者僅是將前二者的結(jié)果著書立說。從該書的撰寫過程來看,惠更斯幾乎全是自己獨立解決的這些概率問題,雖帕斯卡、費馬間接給他提供了一些問題,但均無解答過程。概率史界認為,帕斯卡與費馬的通信標志著概率論的誕生。然而他們的通信直至1679 年才完全公布于世,故惠更斯的《論賭博中的計算》標志著概率論的誕生。因此,不少學(xué)者宣稱惠更斯為概率論的正式創(chuàng)始人�；莞沟摹墩撡�博中的計算》不僅是第一部概率論著作,而且是第一個把該學(xué)科建立在公理、命題和問題上而構(gòu)成一個較完整的理論體系,第一次對以前概率論知識系統(tǒng)化、公式化和一般化。該書為概率論的進一步發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)〔6〕。
1657 年9 月《論賭博中的計算》出版后立即得到學(xué)術(shù)界的認可和重視。該書在歐洲多次再版,作為概率論的標準教材長達50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度術(shù)》出版才遏制住該書的再版,然而該書的影響還在繼續(xù)。因《猜度術(shù)》的第一卷就是《論賭博的計算》的注釋,并籍此建立了第一個大數(shù)定理。法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(A1de Moiver ,1667 —1754) 的《機會學(xué)說》也是在該書的基礎(chǔ)上,由二項分布的逼近得到了正態(tài)分布的密度函數(shù)表達式。拉普拉斯在此基礎(chǔ)上給出古典概率的定義。因此,惠更斯的概率思想對古典概率的影響是重要而持久的,其方法可以看作那一時期的特點。但是,至于什么是“理想理論”,需要考慮它的歷史發(fā)展階段,不能苛求古人,也不能執(zhí)于一偏。
盡管惠更斯的《論賭博中的計算》已出版300 余年了,但其科學(xué)的思想方法已跨越時空在數(shù)學(xué)教育尤其是概率論的學(xué)習(xí)中散發(fā)著無窮的力量。了解其內(nèi)容有助于我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用概率論這一重要的數(shù)學(xué)分支。正如拉普拉斯所說“一門開始于研究賭博機會的科學(xué),居然成了人類知識中最重要的學(xué)科,這無疑是令人驚訝的事情。”
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